На яку температуру потрібно знизити температуру мідного дроту, щоб його опір зменшився на 20%, якщо початкова

Barbos

14

Для решения этой задачи мы будем использовать закон Ома, который гласит, что сопротивление проводника пропорционально его длине и обратно пропорционально его площади поперечного сечения. Выражение закона Ома имеет вид:

\[R = \frac{{\rho \cdot L}}{{A}},\]

где \(R\) - сопротивление проводника, \(\rho\) - удельное сопротивление материала проводника, \(L\) - длина проводника, \(A\) - площадь поперечного сечения проводника.

В задаче нам известно, что мы хотим уменьшить сопротивление проводника на 20%. Для расчета начальной и конечной температуры проводника мы воспользуемся зависимостью удельного сопротивления меди от температуры:

\[\rho(T) = \rho_0 \cdot (1 + \alpha \cdot (T - T_0)),\]

где \(\rho(T)\) - удельное сопротивление меди при температуре \(T\), \(\rho_0\) - удельное сопротивление меди при комнатной температуре, \(\alpha\) - температурный коэффициент, \(T\) - текущая температура проводника, \(T_0\) - комнатная температура (получим ее в задаче).

Подставим выражение для удельного сопротивления в формулу для сопротивления проводника:

\[R(T) = \frac{{\rho(T) \cdot L}}{{A}} = \frac{{\rho_0 \cdot (1 + \alpha \cdot (T - T_0)) \cdot L}}{{A}}.\]

Поскольку нам известно, что мы хотим снизить сопротивление на 20%, запишем это условие следующим образом:

\[R(T_f) = R(T_0) - \frac{{20}}{{100}} \cdot R(T_0),\]

где \(T_f\) - конечная температура, при которой сопротивление уменьшится на 20%.

Подставим теперь выражение для конечного значения сопротивления и начальной температуры:

\[\frac{{\rho_0 \cdot (1 + \alpha \cdot (T_f - T_0)) \cdot L}}{{A}} = R(T_0) - \frac{{20}}{{100}} \cdot R(T_0).\]

Теперь решим это уравнение относительно конечной температуры \(T_f\):

\[\rho_0 \cdot (1 + \alpha \cdot (T_f - T_0)) \cdot L = R(T_0) \cdot \left(1 - \frac{{20}}{{100}}\right).\]

Раскроем скобки:

\[\rho_0 + \alpha \cdot \rho_0 \cdot (T_f - T_0) \cdot L = R(T_0) \cdot \left(1 - \frac{{20}}{{100}}\right).\]

Выразим конечную температуру \(T_f\):

\[\alpha \cdot \rho_0 \cdot T_f \cdot L - \alpha \cdot \rho_0 \cdot T_0 \cdot L = \left(1 - \frac{{20}}{{100}}\right) \cdot R(T_0) - \rho_0.\]

Теперь приведем выражение к более простому виду:

\[\alpha \cdot \rho_0 \cdot L \cdot (T_f - T_0) = \frac{{80}}{{100}} \cdot R(T_0) - \rho_0.\]

Выразим конечную температуру \(T_f\):

\[T_f = \frac{{\frac{{80}}{{100}} \cdot R(T_0) - \rho_0}}{{\alpha \cdot \rho_0 \cdot L}} + T_0.\]

Это и будет ответом на задачу. Вставьте изначальное значение температуры проводника до охлаждения \(T_0\), значения удельного сопротивления меди при комнатной температуре \(\rho_0\), температурный коэффициент \(\alpha\), длину проводника \(L\) и площадь поперечного сечения проводника \(A\) в формулу, чтобы найти нужную температуру проводника после охлаждения \(T_f\).