Каково отношение конечной емкости к начальной, если плоский вертикальный конденсатор, закрепленный на плоскости

Скоростной_Молот

23

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся некоторые основные понятия из электростатики. Рассмотрим плоскую конденсаторную систему, которую описывает задача.

Дано:
Угол наклона плоскости конденсатора \( \alpha = 45^\circ \)
Коэффициент диэлектрической проницаемости жидкости \( \varepsilon = 2 \)
Длина и высота обкладок конденсатора составляют 3 см
Расстояние между обкладками также равно 3 см

Мы хотим найти отношение конечной емкости конденсатора к его начальной емкости.

Первый шаг - найти начальную емкость конденсатора \( C_0 \). Емкость конденсатора можно выразить через его параметры с помощью формулы:

\[ C = \frac{{\varepsilon_0 \cdot \varepsilon \cdot S}}{{d}} \]

где
\( C \) - емкость конденсатора,
\( \varepsilon_0 \) - электрическая постоянная (приблизительно \( 8.85 \cdot 10^{-12} \, \text{Ф/м} \)),
\( \varepsilon \) - коэффициент диэлектрической проницаемости,
\( S \) - площадь поперечного сечения обкладок,
\( d \) - расстояние между обкладками.

Для начальной емкости конденсатора, где в качестве диэлектрика служит воздух, мы можем записать:

\[ C_0 = \frac{{\varepsilon_0 \cdot S_0}}{{d_0}} \]

где
\( S_0 \) - начальная площадь поперечного сечения обкладок,
\( d_0 \) - начальное расстояние между обкладками.

По условию, площадь поперечного сечения обкладок составляет 3 см, а расстояние между обкладками также равно 3 см. Переведем их в метры, чтобы использовать СИ-единицы:

\( S_0 = 3 \, \text{см}^2 = 3 \times 10^{-4} \, \text{м}^2 \)
\( d_0 = 3 \, \text{см} = 3 \times 10^{-2} \, \text{м} \)

Теперь мы можем выразить начальную емкость конденсатора:

\[ C_0 = \frac{{8.85 \times 10^{-12} \cdot 3 \times 10^{-4}}}{{3 \times 10^{-2}}} \, \text{Ф} \]

\[ C_0 = 8.85 \times 10^{-14} \, \text{Ф} \]

Теперь перейдем к конечной емкости конденсатора \( C \), когда он начинает выливаться через край.

Когда конденсатор наполняется диэлектриком, расстояние между обкладками уменьшается, и это влияет на его емкость.

Будем считать, что конденсатор полностью заполнился диэлектриком, когда меняющееся расстояние между обкладками равно высоте обкладок.

Пересчитаем высоту обкладок из сантиметров в метры:

\( h = 3 \, \text{см} = 3 \times 10^{-2} \, \text{м} \)

Учитывая, что при наклоне плоскости конденсатора под углом \( \alpha = 45^\circ \), изменение расстояния между обкладками можно выразить через формулу:

\[ \Delta d = h \cdot \sin(\alpha) \]

где \( \Delta d \) - изменение расстояния между обкладками.

Подставляя известные значения, получим:

\[ \Delta d = 3 \times 10^{-2} \cdot \sin(45^\circ) \, \text{м} \]

\[ \Delta d = 3 \times 10^{-2} \cdot \frac{{\sqrt{2}}}{2} \, \text{м} \]

\[ \Delta d = \frac{{3 \sqrt{2}}}{200} \, \text{м} \]

Окончательно, чтобы найти конечную емкость конденсатора \( C \), мы знаем, что изменение расстояния между обкладками равно \( \Delta d \). Следовательно, расстояние между обкладками должно быть \( d_0 - \Delta d \).

Подставляя известные значения, мы можем выразить \( C \):

\[ C = \frac{{8.85 \times 10^{-12} \cdot 3 \times 10^{-4}}}{{3 \times 10^{-2} - \frac{{3 \sqrt{2}}}{200}}} \, \text{Ф} \]

\[ C = \frac{{8.85 \times 10^{-12} \cdot 3 \times 10^{-4}}}{{3 \times 10^{-2} - \frac{{3 \sqrt{2}}}{200}}} \, \text{Ф} \]

Решив эту формулу, мы найдем конечную емкость конденсатора. Вам осталось только подставить числа в эту формулу и выполнить вычисления.