Напишите уравнение директрисы параболы y^2+8y+28x+72

Nadezhda

44

Хорошо, давайте решим эту задачу вместе.

Уравнение параболы имеет следующий общий вид: \(y^2 + 8y + 28x + 72 = 0\).

Чтобы найти уравнение директрисы параболы, нам необходимо найти координаты ее фокуса и эксцентриситет. Формула уравнения директрисы имеет вид \(x = \frac{{a}}{{e}}\), где \(a\) - расстояние между фокусом и директрисой, а \(e\) - эксцентриситет.

Дискриминант уравнения параболы равен \(D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (28 \cdot 72) = 64 - 8064 = -8000\).

Так как дискриминант отрицателен, это значит, что парабола имеет собственный фокус. Расстояние \(a\) между фокусом и директрисой равно модулю половины коэффициента \(x\), умноженному на эксцентриситет \(e\).

В данном случае, поскольку коэффициент при \(x\) равен 28, то \(a = \frac{{|28|}}{{2}} = 14\).

Чтобы найти значение эксцентриситета \(e\), мы можем использовать формулу \(e = \frac{{\sqrt{-D}}}{{|2a|}}\).

В нашем случае, \(e = \frac{{\sqrt{-(-8000)}}}{{|2 \cdot 14|}} = \frac{{\sqrt{8000}}}{{28}} = \frac{{40\sqrt{2}}}{{28}} = \frac{{10\sqrt{2}}}{{7}}\).

Теперь мы можем выразить уравнение директрисы параболы: \(x = \frac{{a}}{{e}}\), где \(a\) равно 14, а \(e\) равно \(\frac{{10\sqrt{2}}}{{7}}\).

Подставим значения и упростим выражение: \(x = \frac{{14}}{{\frac{{10\sqrt{2}}}{{7}}}}\).
Упрощаем: \(x = \frac{{14 \cdot 7}}{{10\sqrt{2}}} = \frac{{98}}{{10\sqrt{2}}}\).

Таким образом, уравнение директрисы параболы заданной функцией \(y^2 + 8y + 28x + 72\) имеет вид: \[x = \frac{{98}}{{10\sqrt{2}}}\].

Надеюсь, что это пошаговое решение помогло вам понять, как найти уравнение директрисы параболы. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.