Напишите уравнение для касательной и нормали к кривой, заданной уравнением y=2x^3, в точке x=-1

Амина_1499

6

Хорошо, давайте решим задачу построения уравнения касательной и нормали к кривой \(y = 2x^3\) в точке \(x = -1\).

Для начала, нам понадобится найти производную данной функции, чтобы определить угловой коэффициент касательной к кривой в данной точке.

Производная функции \(y = 2x^3\) вычисляется с помощью правила дифференцирования степенной функции. Для функции вида \(y = ax^n\), производная равна \(y" = nax^{n-1}\).

В нашем случае, функция \(y = 2x^3\) имеет \(a = 2\) и \(n = 3\), поэтому для вычисления производной получим:

\[y" = 3 \cdot 2x^{3-1} = 6x^2\]

Теперь у нас есть производная \(y" = 6x^2\), которая является угловым коэффициентом касательной к кривой в любой точке.

Чтобы найти уравнение касательной к кривой, нужно использовать формулу \(y - y_1 = m(x - x_1)\), где \(m\) - угловой коэффициент касательной, \(x_1\) и \(y_1\) - координаты точки, в которой требуется построить касательную.

Так как нас интересует точка \(x = -1\), то заменим \(x_1\) на -1 в формуле. Для получения \(y_1\) подставим данное значение \(x\) в исходное уравнение: \(y = 2(-1)^3 = -2\).

Подставим значения в формулу:

\[y - (-2) = 6(-1)^2(x - (-1))\]

\[y + 2 = 6(x + 1)\]

\[y + 2 = 6x + 6\]

Чтобы уравнение было в обычной форме, приведем его к виду:

\[y = 6x + 4\]

Таким образом, уравнение касательной к кривой \(y = 2x^3\) в точке \(x = -1\) имеет вид \(y = 6x + 4\).

Теперь, чтобы найти уравнение нормали, мы должны найти уравнение линии, перпендикулярной касательной, и проходящей через ту же точку \(x = -1\).

Угловой коэффициент нормали будет равен отрицательному обратному углового коэффициента касательной. В нашем случае, угловой коэффициент касательной \(m\) равен 6, поэтому угловой коэффициент нормали будет -1/6.

Заменим \(m\) на -1/6 в формуле уравнения касательной:

\[y - (-2) = (-1/6)(x - (-1))\]

\[y + 2 = (-1/6)(x + 1)\]

\[y + 2 = (-1/6)x - 1/6\]

\[y = (-1/6)x - 13/6\]

Таким образом, уравнение нормали к кривой \(y = 2x^3\) в точке \(x = -1\) имеет вид \(y = (-1/6)x - 13/6\).

Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам понять, как получить уравнения касательной и нормали к данной кривой в данной точке.