Нарисуйте куб ABCDA1B1C1D1 и отметьте точки M, N и L, которые являются серединами его ребер AB, BC
Нарисуйте куб ABCDA1B1C1D1 и отметьте точки M, N и L, которые являются серединами его ребер AB, BC и BB1 соответственно. а) Постройте сечение куба плоскостью MNL; б) Докажите, что треугольник MNL является правильным; в) Найдите площадь треугольника MNL, если длина ребра куба равна...
Dobryy_Lis 47
Длина \[a\] таблицы.а) Чтобы построить сечение куба плоскостью MNL, необходимо провести прямые, проходящие через точки M, N и L и параллельные соответствующим ребрам куба. Получится треугольник, целиком лежащий внутри куба.
б) Для доказательства того, что треугольник MNL является правильным, нам следует проверить два условия. Во-первых, проверим, что длины его сторон равны.
Так как точки M, N и L являются серединами ребер AB, BC и BB1 соответственно, то мы можем использовать теорему о серединах отрезков. Согласно этой теореме, координаты середины отрезка можно найти, сложив координаты его концов и делением суммы на 2.
Таким образом, координаты точек M, N и L равны:
M: \[\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right)\]
N: \[\left(\frac{a}{2}, a, \frac{a}{2}\right)\]
L: \[\left(0, \frac{3a}{2}, \frac{a}{2}\right)\]
Теперь посчитаем длины сторон треугольника MNL:
\[MN = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - \frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}-a\right)^2 + \left(0 - \frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{0 + \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\]
\[NL = \sqrt{\left(0 - \frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{3a}{2}-a\right)^2 + \left(\frac{a}{2} - \frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} + 0} = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\]
\[LM = \sqrt{\left(0-\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{3a}{2}-\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}-\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} + 0} = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\]
Таким образом, все стороны треугольника MNL равны и составляют длину \[\frac{a\sqrt{2}}{2}\]. Что доказывает, что треугольник MNL является правильным.
в) Чтобы найти площадь треугольника MNL, нужно воспользоваться формулой площади треугольника: площадь равна половине произведения длины одной стороны на высоту, опущенную на эту сторону.
Высота треугольника - это расстояние от одной из вершин до прямой, содержащей противоположную сторону. В нашем случае, так как треугольник MNL является правильным, все стороны равны и любая из них может считаться высотой.
Таким образом, площадь треугольника MNL равна:
\[S = \frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{4}\]
Ответ: Площадь треугольника MNL равна \[\frac{a^2}{4}\].