Яку довжину має радіус циліндра, якщо його діаметр втричі більший за його висоту, і діагональ осьового перерізу

Кедр_8262

60

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Пусть радиус цилиндра равен $r$, а его высота равна $h$.

В условии сказано, что диаметр цилиндра втричи больше его высоты, то есть $2r=3h$ (так как диаметр равен удвоенному радиусу).

Также, согласно условию задачи, диагональ осевого сечения цилиндра равна 4.

Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти отношение между радиусом и высотой:

$$r^2+h^2={\left(\frac{d}{2}\right)}^2=2^2=4$$

Подставим значение $2r=3h$ в это уравнение:

$${\left(\frac{3h}{2}\right)}^2+h^2=4$$

Раскроем скобки:

$$\frac{9h^2}{4}+h^2=4$$

Приведем все слагаемые к общему знаменателю:

$$\frac{9h^2+4h^2}{4}=4$$

Сложим числители:

$$\frac{13h^2}{4}=4$$

Перемножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от деления:

$$13h^2=16$$

Разделим обе части на 13:

$$h^2=\frac{16}{13}$$

Извлечем квадратный корень:

$$h=\sqrt{\frac{16}{13}}=\frac{4}{\sqrt{13}}=\frac{4\sqrt{13}}{13}$$

Теперь мы можем найти радиус цилиндра, используя уравнение $2r=3h$:

$$2r=3\left(\frac{4\sqrt{13}}{13}\right)$$

Распишем умножение:

$$2r=\frac{12\sqrt{13}}{13}$$

Разделим обе части на 2:

$$r=\frac{6\sqrt{13}}{13}$$

Таким образом, радиус цилиндра составляет $\frac{6\sqrt{13}}{13}$, а его высота равна $\frac{4\sqrt{13}}{13}$.