Яку довжину має радіус циліндра, якщо його діаметр втричі більший за його висоту, і діагональ осьового перерізу

Кедр_8262

60

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Пусть радиус цилиндра равен \( r \), а его высота равна \( h \).

В условии сказано, что диаметр цилиндра втричи больше его высоты, то есть \( 2r = 3h \) (так как диаметр равен удвоенному радиусу).

Также, согласно условию задачи, диагональ осевого сечения цилиндра равна 4.

Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти отношение между радиусом и высотой:

\[ r^2 + h^2 = \left(\frac{d}{2}\right)^2 = 2^2 = 4 \]

Подставим значение \( 2r = 3h \) в это уравнение:

\[ \left(\frac{3h}{2}\right)^2 + h^2 = 4 \]

Раскроем скобки:

\[ \frac{9h^2}{4} + h^2 = 4 \]

Приведем все слагаемые к общему знаменателю:

\[ \frac{9h^2 + 4h^2}{4} = 4 \]

Сложим числители:

\[ \frac{13h^2}{4} = 4 \]

Перемножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от деления:

\[ 13h^2 = 16 \]

Разделим обе части на 13:

\[ h^2 = \frac{16}{13} \]

Извлечем квадратный корень:

\[ h = \sqrt{\frac{16}{13}} = \frac{4}{\sqrt{13}} = \frac{4\sqrt{13}}{13} \]

Теперь мы можем найти радиус цилиндра, используя уравнение \( 2r = 3h \):

\[ 2r = 3\left(\frac{4\sqrt{13}}{13}\right) \]

Распишем умножение:

\[ 2r = \frac{12\sqrt{13}}{13} \]

Разделим обе части на 2:

\[ r = \frac{6\sqrt{13}}{13} \]

Таким образом, радиус цилиндра составляет \( \frac{6\sqrt{13}}{13} \), а его высота равна \( \frac{4\sqrt{13}}{13} \).