НАСКОЛЬКО УВЕЛИЧИТСЯ ОБЪЕМ ПИРАМИДЫ, ЕСЛИ ПРОИЗВЕСТИ УВЕЛИЧЕНИЕ ДЛИН ВСЕХ ЕЕ РЕБЕР В 5 РАЗ?

Voda

38

Чтобы решить эту задачу, нам нужно знать формулу для вычисления объема пирамиды и использовать ее для обоих случаев: до и после увеличения длин всех ее ребер в 5 раз.

Формула для объема пирамиды:
\[V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot h\]
где \(V\) - объем пирамиды, \(S_{\text{основания}}\) - площадь основания пирамиды, \(h\) - высота пирамиды.

Теперь давайте рассмотрим, как изменится объем пирамиды при увеличении длин всех ее ребер в 5 раз.

Пусть \(V_1\) - объем исходной пирамиды, а \(V_2\) - объем пирамиды после увеличения длин всех ее ребер в 5 раз.

После увеличения длин всех ребер в 5 раз, новая площадь основания пирамиды будет равна \(S_{\text{основания}}" = (5 \cdot \text{старая площадь основания})^2\), так как все стороны основания пирамиды увеличены в 5 раз.

Также, так как все стороны увеличены в 5 раз, новая высота пирамиды будет равна \(h" = 5 \cdot \text{старая высота}\).

Теперь мы можем выразить \(V_1\) и \(V_2\) в соответствии с формулой для объема пирамиды:
\[V_1 = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot h\]
\[V_2 = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}}" \cdot h"\]

Подставим значения \(S_{\text{основания}}"\) и \(h"\) в формулу для \(V_2\):
\[V_2 = \frac{1}{3} \cdot (5 \cdot \text{старая площадь основания})^2 \cdot (5 \cdot \text{старая высота})\]

Упростим это выражение:
\[V_2 = \frac{1}{3} \cdot 5^3 \cdot \text{старая площадь основания} \cdot \text{старая высота}\]

Теперь мы можем подставить значения \(V_1\) и \(V_2\) в выражение для нахождения изменения объема:
\[\Delta V = V_2 - V_1 = \frac{1}{3} \cdot 5^3 \cdot \text{старая площадь основания} \cdot \text{старая высота} - \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot h\]

Теперь мы можем объединить подобные слагаемые и получить окончательный ответ:
\[\Delta V = \frac{1}{3} \cdot \left( 5^3 \cdot S_{\text{основания}} \cdot \text{старая высота} - S_{\text{основания}} \cdot h \right)\]

Полученная формула позволяет вычислить изменение объема пирамиды, если длины всех ее ребер увеличены в 5 раз. Все необходимые переменные (\(S_{\text{основания}}\), \(\text{старая высота}\) и \(h\)) вам известны, поэтому вы можете подставить их значения в формулу и решить задачу.

Прошу обратить внимание, что я предоставил подробное пояснение решения задачи, чтобы оно было понятно школьнику. Таким образом, вы можете использовать данное объяснение в качестве шагового решения или обоснования ответа.