Найдите четвертый член геометрической прогрессии, если третий член равен 75 и пятый член равен 3. Answer

Солнечный_Феникс

60

Чтобы найти четвертый член геометрической прогрессии, мы можем воспользоваться формулой общего члена геометрической прогрессии \(a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}\), где \(a_n\) - n-ый член прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(r\) - знаменатель прогрессии, а \(n\) - номер члена прогрессии.

В данной задаче у нас известны значения третьего и пятого членов прогрессии. Мы знаем, что третий член равен 75 (\(a_3 = 75\)) и пятый член равен 3 (\(a_5 = 3\)).

Для решения задачи мы сначала найдем знаменатель прогрессии \(r\), а затем используем его для вычисления четвертого члена прогрессии \(a_4\).

Шаг 1: Найдем знаменатель прогрессии \(r\).
Используя формулу общего члена прогрессии \(a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}\), мы можем записать два уравнения:

\(a_3 = a_1 \cdot r^{(3-1)}\) (1)
\(a_5 = a_1 \cdot r^{(5-1)}\) (2)

Подставим известные значения в уравнения:
75 = \(a_1 \cdot r^2\) (1)
3 = \(a_1 \cdot r^4\) (2)

Шаг 2: Решим систему уравнений.
Разделим уравнение (2) на уравнение (1), чтобы избавиться от \(a_1\):
\(\frac{3}{75} = \frac{a_1 \cdot r^4}{a_1 \cdot r^2}\)
\(\frac{1}{25} = r^2\)

Возьмем квадратный корень обеих сторон уравнения:
\(\sqrt{\frac{1}{25}} = \sqrt{r^2}\)
\(\frac{1}{5} = r\)

Таким образом, мы нашли знаменатель прогрессии \(r = \frac{1}{5}\).

Шаг 3: Найдем четвертый член прогрессии \(a_4\).
Теперь, когда у нас есть значение знаменателя \(r\), мы можем использовать его в формуле общего члена прогрессии для нахождения четвертого члена прогрессии:
\(a_4 = a_1 \cdot r^{(4-1)}\)
\(a_4 = a_1 \cdot r^3\)
\(a_4 = a_1 \cdot (\frac{1}{5})^3\)

Так как у нас нет информации о первом члене прогрессии \(a_1\), мы не можем найти точное значение для четвертого члена. Однако, мы можем выразить его через \(a_1\) и получить \(a_4 = a_1 \cdot \frac{1}{125}\).

Таким образом, четвертый член геометрической прогрессии равен \(a_4 = a_1 \cdot \frac{1}{125}\), где \(a_1\) - первый член прогрессии, который нам неизвестен.