Сколько школьников записалось на кружок по черчению из общего числа 25 семиклассников, если число семиклассников

Raduga_Na_Nebe

59

Давайте решим эту задачу пошагово.

Поскольку число семиклассников, записавшихся на кружок, соотносится с числом восьмиклассников как 5 к 8, мы можем представить это в виде отношения. Пусть \(x\) обозначает количество семиклассников, записавшихся на кружок, и \(y\) - количество восьмиклассников, записавшихся на тот же кружок.

Теперь мы можем записать это отношение в виде уравнения:

\(\frac{x}{y} = \frac{5}{8}\)

Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать понятие пропорции.

Для начала, умножим обе стороны уравнения на \(8y\), чтобы избавиться от знаменателя:

\(8y \cdot \frac{x}{y} = 8y \cdot \frac{5}{8}\)

Упростим выражение:

\(8x = 5y\)

Теперь мы можем найти соотношение числа семиклассников к числу восьмиклассников:

\(\frac{x}{y} = \frac{5}{8}\)

Мы можем выразить \(x\) через \(y\), разделив обе стороны уравнения на \(y\):

\(\frac{x}{y} \cdot \frac{1}{y} = \frac{5}{8} \cdot \frac{1}{y}\)

\(x = \frac{5}{8y}\)

Теперь у нас есть выражение для \(x\), которое зависит от \(y\). Мы также знаем, что общее число учащихся равно 25, поэтому мы можем составить уравнение:

\(x + y = 25\)

Теперь мы можем заменить \(x\) в уравнении с помощью полученного выражения:

\(\frac{5}{8y} + y = 25\)

Умножим обе стороны уравнения на \(8y\), чтобы избавиться от знаменателя:

\(5 + 8y^2 = 25y\)

Теперь это квадратное уравнение, которое мы можем решить путем приведения подобных членов и использования квадратного корня:

\(8y^2 - 25y + 5 = 0\)

Для нахождения значений \(y\) мы можем использовать формулу для квадратных уравнений:

\(y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

Где \(a = 8\), \(b = -25\) и \(c = 5\).

Подставим значения и рассчитаем \(y\):

\(y = \frac{-(-25) \pm \sqrt{(-25)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 5}}{2 \cdot 8}\)

\(y = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 160}}{16}\)

\(y = \frac{25 \pm \sqrt{465}}{16}\)

\(y = \frac{25 \pm \sqrt{5 \cdot 3 \cdot 31}}{16}\)

\(y = \frac{25 \pm \sqrt{5 \cdot 3^2 \cdot 31}}{16}\)

Теперь мы можем рассмотреть два случая:

1) Пусть \(y = \frac{25 + \sqrt{5 \cdot 3^2 \cdot 31}}{16}\)

Подставим это значение в уравнение \(x + y = 25\):

\(x + \frac{25 + \sqrt{5 \cdot 3^2 \cdot 31}}{16} = 25\)

Упростим уравнение и найдем \(x\):

\(x = 25 - \frac{25 + \sqrt{5 \cdot 3^2 \cdot 31}}{16}\)

2) Пусть \(y = \frac{25 - \sqrt{5 \cdot 3^2 \cdot 31}}{16}\)

Подставим это значение в уравнение \(x + y = 25\):

\(x + \frac{25 - \sqrt{5 \cdot 3^2 \cdot 31}}{16} = 25\)

Упростим уравнение и найдем \(x\):

\(x = 25 - \frac{25 - \sqrt{5 \cdot 3^2 \cdot 31}}{16}\)

Таким образом, у нас есть два возможных решения для этой задачи. Вычислив значения \(x\) для каждого из этих случаев, мы сможем найти количество семиклассников, записавшихся на кружок по черчению.