Найдите длину диагоналей параллелограмма, если его стороны равны 9 см и 6 см, а угол между ними составляет 120°

Малыш

43

Для начала, давайте нарисуем параллелограмм и обозначим его стороны и угол:

\[ AB = 9 \, \text{см} \]
\[ AD = 6 \, \text{см} \]
\[ \angle BAD = 120° \]

Чтобы найти длину диагоналей параллелограмма, нам понадобится использовать теорему косинусов. Эта теорема устанавливает связь между длинами сторон треугольника и косинусами его углов.

В данной задаче, нам известны две стороны и угол между ними, поэтому мы можем использовать теорему косинусов следующим образом:

\[ AC^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle BAD) \]

Теперь, давайте подставим известные значения в эту формулу:

\[ AC^2 = 9^2 + 6^2 - 2 \cdot 9 \cdot 6 \cdot \cos(120°) \]

Вычислим cos(120°). Чтобы упростить вычисления, воспользуемся свойством косинуса суммы углов:

\[ \cos(\angle BAD) = \cos(60° + 60°) \]
\[ \cos(\angle BAD) = \cos(60°) \cdot \cos(60°) - \sin(60°) \cdot \sin(60°) \]
\[ \cos(\angle BAD) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \cos(\angle BAD) = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} \]
\[ \cos(\angle BAD) = -\frac{2}{4} \]
\[ \cos(\angle BAD) = -\frac{1}{2} \]

Теперь, подставим это значение в нашу формулу:

\[ AC^2 = 9^2 + 6^2 - 2 \cdot 9 \cdot 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \]

Дальнейшие вычисления:

\[ AC^2 = 81 + 36 + 54 \]
\[ AC^2 = 171 \]
\[ AC = \sqrt{171} \]

Таким образом, длина диагонали AC параллелограмма составляет примерно \(\sqrt{171} \approx 13.08\) см.