Найдите длину диагонали сечения куба ABCDA1B1C1D1, которое образуется плоскостью, проходящей через прямую АС и прямую

Solnce_Nad_Okeanom_9567

15

Для решения этой задачи, нам необходимо сначала найти длину ребра куба.

Как мы знаем, в кубе все ребра равны между собой. Поэтому, можно взять любое из ребер и найти его длину.

Пусть ребро куба равно \(a\).

Затем, чтобы найти длину диагонали сечения, образованной плоскостью, проходящей через прямую АС и прямую A1B1, нам необходимо найти длину сечения.

Из геометрии известно, что сечение поверхности куба, образует прямоугольник. Диагональ этого прямоугольника и будет диагональю сечения куба.

Поэтому, для нахождения длины диагонали сечения, нам надо найти диагональ прямоугольника, образованного сечением.

По теореме Пифагора, в прямоугольнике с длиной одной стороны \(a\) и длиной другой стороны \(b\) диагональ \(d\) находится по формуле:

\[d = \sqrt{a^2 + b^2}\]

Так как в нашем случае прямоугольник образован сечением, то одной стороной прямоугольника будет ребро куба, то есть \(a\).

А другую сторону прямоугольника можно найти, используя подобие треугольников. Заметим, что треугольник АСА1 подобен треугольнику А1B1C1.

Следовательно, отношение длин сторон треугольников АСА1 и А1B1C1 будет равно отношению их высот:

\[\frac{a}{b} = \frac{d}{a}\]

Теперь, подставим это значение в формулу для диагонали прямоугольника:

\[d = \sqrt{a^2 + \left(\frac{d}{a}\right)^2}\]

Возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\[d^2 = a^2 + \left(\frac{d}{a}\right)^2\]

Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

\[d^2 - \left(\frac{d}{a}\right)^2 = a^2\]

Раскроем квадрат во втором слагаемом:

\[d^2 - \frac{d^2}{a^2} = a^2\]

Общий знаменатель поможет нам объединить выражения:

\[\frac{d^2a^2 - d^2}{a^2} = a^2\]

Вынесем общий множитель за скобку:

\[\frac{d^2(a^2-1)}{a^2} = a^2\]

Упростим дробь:

\[d^2(a^2-1) = a^4\]

Раскроем скобку:

\[d^2a^2 - d^2 = a^4\]

Перенесем все слагаемые на одну сторону:

\[d^2a^2 - a^4 - d^2 = 0\]

Теперь, это квадратное уравнение относительно неизвестной \(d^2\).
Решим его по общей формуле квадратного уравнения:

\[d^2 = \frac{a^4 \pm \sqrt{(a^4)^2 - 4a^2(-a^2)}}{2a^2}\]

Сократим выражение под корнем:

\[d^2 = \frac{a^4 \pm \sqrt{a^8 + 4a^4}}{2a^2}\]

Продолжим сокращение и упростим выражение под корнем:

\[d^2 = \frac{a^4 \pm a^4\sqrt{1 + 4}}{2a^2}\]

\[d^2 = \frac{a^4 \pm a^4\sqrt{5}}{2a^2}\]

\[d^2 = \frac{a^4(1 \pm \sqrt{5})}{2a^2}\]

Делаем сокращение на \(a^2\):

\[d^2 = \frac{a^2(1 \pm \sqrt{5})}{2}\]

\[d^2 = \frac{a^2}{2} \pm \frac{a^2\sqrt{5}}{2}\]

Делим обе стороны уравнения на 2:

\[d^2 = \frac{a^2}{2} \pm \frac{a^2\sqrt{5}}{2}\]

Теперь сократим \(a^2\) и найдем значение для \(d^2\):

\[d^2 = \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot a^2\]

Таким образом, мы получаем два значения для \(d^2\). Если подставить значение ребра \(a\) куба, то мы сможем найти оба значения для \(d\).

Итак, длина диагонали сечения равна:

\[d_1 = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot a^2}\]
\[d_2 = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot a^2}\]

Таким образом, мы можем найти длину диагонали сечения в зависимости от длины ребра куба \(a\).