Найдите длину дуги данного сектора, разделённую на градусную меру кругового сектора, равную 30 градусов, а площадь

Магнитный_Магистр

58

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать формулы, связанные с длиной дуги и площадью кругового сектора.

1. Формула для длины дуги:

Длина дуги выражается как отношение градусной меры дуги к полной градусной мере окружности, умноженное на длину окружности. Формула для длины дуги L выглядит следующим образом:

\[L = \dfrac{\theta}{360^\circ} \times C\]

где:
L - длина дуги,
\(\theta\) - градусная мера дуги,
C - длина окружности.

2. Формула для площади кругового сектора:

Площадь кругового сектора выражается как отношение градусной меры сектора к полной градусной мере окружности, умноженное на площадь всей окружности. Формула для площади кругового сектора S выглядит следующим образом:

\[S = \dfrac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2\]

где:
S - площадь кругового сектора,
\(\theta\) - градусная мера сектора,
\(\pi\) - число пи (примерно 3,14),
r - радиус окружности.

Теперь, используя данные из условия задачи, давайте решим ее пошагово.

1. Найдем длину окружности:
Длина окружности можно найти с помощью формулы:

\[C = 2 \pi r\],

где r - радиус окружности.

Дано, что площадь кругового сектора составляет 13,5п. Распишем формулу для площади кругового сектора:

\[13,5п = \dfrac{30}{360^\circ} \times \pi r^2\]

2. Найдем радиус окружности:
Раскрыв скобки, получим:

\[13,5п = \dfrac{1}{12} \pi r^2\]

Перенесем \(\pi\) на другую сторону уравнения:

\[13,5п \times 12 = \pi r^2\]

\[162п = \pi r^2\]

3. Определим длину окружности:
Теперь, подставив значение \(\pi\) и найденное значение площади кругового сектора, можно найти значение радиуса r:

\[r^2 = \dfrac{162п}{\pi}\]

\[r^2 \approx 51,5\]

\[r \approx \sqrt{51,5}\]

\[r \approx 7,18\]

Теперь, когда у нас есть значение радиуса окружности, мы можем найти длину окружности с помощью формулы \(C = 2 \pi r\):

\[C = 2 \pi \times 7,18\]

\[C \approx 45,17\]

4. Найдем длину дуги:
Теперь, имея значение длины окружности и градусную меру дуги, мы можем найти длину дуги \(L = \dfrac{\theta}{360^\circ} \times C\):

\[L = \dfrac{30}{360^\circ} \times 45,17\]

\[L \approx 3,765\]

Таким образом, длина дуги, разделенная на градусную меру кругового сектора, который равен 30 градусам, а его площадь составляет 13,5п, примерно равна 3,765.