Найдите длину гипотенузы и катета, прилегающего ко второму острому углу прямоугольного треугольника, если известно

Арина

10

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать теорему Пифагора и тригонометрические соотношения для прямоугольных треугольников.

Для начала, давайте обозначим катеты треугольника. Пусть \(a\) - это катет, равный 9 дм, а \(b\) - это катет, прилегающий ко второму острому углу. Искомая гипотенуза будем обозначать как \(c\).

Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Мы можем записать это соотношение следующим образом:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

В нашем случае, \(a = 9\) дм. Мы также знаем, что \(b\) - это катет, прилегающий к углу 30 градусов.

Теперь давайте рассмотрим тригонометрическое соотношение для прямоугольного треугольника. В прямоугольном треугольнике, отношение длины катета к гипотенузе равно косинусу угла между ними. Мы можем записать это соотношение следующим образом:

\[\cos(\theta) = \frac{b}{c}\]

Где \(\theta\) - это угол между гипотенузой и прилегающим к нему катетом \(b\).

Мы знаем, что \(\theta = 30^\circ\). Подставим это значение в тригонометрическое соотношение:

\[\cos(30^\circ) = \frac{b}{c}\]

Теперь, чтобы решить задачу, нам нужно найти значения \(b\) и \(c\).

1. Найдем значение \(b\), используя тригонометрическое соотношение:

\[\cos(30^\circ) = \frac{b}{c} \Rightarrow b = \cos(30^\circ) \cdot c\]

2. Теперь мы можем подставить значение \(b\), чтобы решить уравнение Пифагора:

\[c^2 = a^2 + b^2 = 9^2 + (\cos(30^\circ) \cdot c)^2\]

3. Раскроем скобки в уравнении:

\[c^2 = 81 + \cos^2(30^\circ) \cdot c^2\]

4. Перенесем все члены с \(c^2\) на одну сторону уравнения:

\[c^2 - \cos^2(30^\circ) \cdot c^2 = 81\]

5. Факторизуем выражение:

\[(1 - \cos^2(30^\circ)) \cdot c^2 = 81\]

6. Используем тригонометрическое тождество \(\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1\) для замены \(\cos^2(30^\circ)\):

\[(\sin^2(30^\circ)) \cdot c^2 = 81\]

7. Вычислим значение \(\sin(30^\circ)\) (синус 30 градусов) - который равен \(0.5\):

\[(0.5^2) \cdot c^2 = 81\]

8. Упростим уравнение:

\[0.25 \cdot c^2 = 81\]

9. Разделим обе части уравнения на 0.25:

\[c^2 = \frac{81}{0.25} \Rightarrow c^2 = 324\]

10. Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

\[c = \sqrt{324} \Rightarrow c = 18\]

Таким образом, длина гипотенузы равна 18 дм.

Теперь мы можем найти значение \(b\) с использованием тригонометрического соотношения:

\[b = \cos(30^\circ) \cdot c = \cos(30^\circ) \cdot 18\]

Вычислим значение \(\cos(30^\circ)\) (косинус 30 градусов) - которая равна \(\frac{\sqrt{3}}{2}\):

\[b = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 18 = 9\sqrt{3}\]

Таким образом, длина катета \(b\) равна \(9\sqrt{3}\) дм.