Найдите длину отрезка BK и длину отрезка

Tainstvennyy_Rycar

65

AB, если точки A(3, 2) и B(7, 6) являются вершинами прямоугольного треугольника ABC, а точка K является серединой гипотенузы AC.

Для начала рассчитаем длину гипотенузы AC, используя формулу для расстояния между двумя точками в декартовой системе координат.

Расстояние между двумя точками (x1, y1) и (x2, y2) можно рассчитать по формуле:
\[d = \sqrt{{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2}}\]

В данной задаче точки A(3, 2) и C(x, y) неизвестны, поэтому нам нужно выразить x и y через точки A и B, чтобы получить координаты середины гипотенузы AC.

Поскольку точка K является серединой гипотенузы AC, мы можем использовать формулу для нахождения середины отрезка.

Формула для нахождения середины отрезка между двумя точками (x1, y1) и (x2, y2):
\[x = \frac{{x1 + x2}}{2}, y = \frac{{y1 + y2}}{2}\]

Применяя эту формулу к точкам A(3, 2) и C(x, y), мы получаем:
\[x = \frac{{3 + x}}{2}, y = \frac{{2 + y}}{2}\]

Решим эти уравнения относительно x и y.

\(2x = 3 + x\)
\[x = 3\]

\(2y = 2 + y\)
\[y = 2\]

Таким образом, координаты точки C равны C(3, 2).

Теперь, когда у нас есть координаты точек A, B и C, мы можем рассчитать длину отрезка BK и длину отрезка AB, используя формулу для расстояния между двумя точками.

Для расчета длины отрезка BK:
\(BK = \sqrt{{(x_B - x_K)^2 + (y_B - y_K)^2}}\)

Подставим известные значения координат:
\(BK = \sqrt{{(7 - 3)^2 + (6 - 2)^2}}\)
\(BK = \sqrt{{4^2 + 4^2}}\)
\(BK = \sqrt{{16 + 16}}\)
\(BK = \sqrt{{32}}\)
\(BK = 4\sqrt{{2}}\)

Для расчета длины отрезка AB:
\(AB = \sqrt{{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}}\)

Подставим известные значения координат:
\(AB = \sqrt{{(7 - 3)^2 + (6 - 2)^2}}\)
\(AB = \sqrt{{4^2 + 4^2}}\)
\(AB = \sqrt{{16 + 16}}\)
\(AB = \sqrt{{32}}\)
\(AB = 4\sqrt{{2}}\)

Таким образом, длина отрезка BK равна \(4\sqrt{{2}}\) и длина отрезка AB также равна \(4\sqrt{{2}}\).