Найдите интервал, включающий все корни данного уравнения Log2(x²-x

Tainstvennyy_Mag

66

Для начала давайте решим данное уравнение пошагово.

Уравнение, которое мы получили, выглядит так:
\[ \log_2(x^2-x) \]

Чтобы найти интервал, включающий все корни этого уравнения, мы должны сначала понять поведение функции \(\log_2(x^2-x)\).

Давайте начнем с поиска значений, при которых функция может быть определена. В данном случае, мы знаем, что аргумент логарифма должен быть положительным и не равным нулю. То есть, \(x^2 - x > 0\).

Перепишем это уравнение в виде:
\[ x(x - 1) > 0 \]

Теперь рассмотрим знаки выражения \(x(x-1)\) в трех интервалах, разделенных точками \(x = 0\) и \(x = 1\).

1. Для \(x < 0\), оба множителя \((x < 0)\) и \((x-1 < 0)\) отрицательны, следовательно, произведение положительно: \(x(x-1) > 0\).
2. Для \(0 < x < 1\), первый множитель \((x > 0)\) положительный, но второй \((x-1 < 0)\) отрицательный, следовательно, произведение отрицательно: \(x(x-1) < 0\).
3. Для \(x > 1\), оба множителя \((x > 0)\) и \((x-1 > 0)\) положительны, следовательно, произведение снова положительно: \(x(x-1) > 0\).

Теперь мы знаем, что \(x(x-1) > 0\) в двух интервалах: \(x < 0\) и \(x > 1\).

Далее, давайте рассмотрим поведение функции \(\log_2(x^2-x)\) в этих интервалах.

В первом интервале (\(x < 0\)), аргументу логарифма \(x^2-x\) будет отрицательным. Логарифм отрицательного числа не определен в области действительных чисел. Таким образом, в первом интервале уравнение не имеет корней.

Во втором интервале (\(x > 1\)), аргумент \(x^2-x\) положительный. В этом случае, уравнение имеет корни, если значение логарифма равно нулю:
\[ \log_2(x^2-x) = 0 \]

Для нахождения корней этого уравнения, мы можем преобразовать его в эквивалентную экспоненциальную форму:
\[ 2^0 = x^2-x \]
\[ 1 = x^2-x \]
\[ x^2-x-1 = 0 \]

С помощью формулы дискриминанта, мы можем найти корни этого квадратного уравнения:
\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 5 \]
\[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \]

Таким образом, корни уравнения \(\log_2(x^2-x) = 0\) в интервале \(x > 1\) равны \(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\) и \(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\).

Итак, чтобы найти интервал, включающий все корни уравнения \(\log_2(x^2-x)\), мы можем говорить о интервале \(x > 1\), так как в этом интервале уравнение имеет корни, тогда как в других интервалах корней нет.