Найдите интервал времени, когда скорость первой точки была ниже скорости второй точки, если x1(t)=9t^2+1 и x2(t)=t^3

Сверкающий_Пегас

50

Хорошо, чтобы найти интервал времени, когда скорость первой точки была ниже скорости второй точки, мы должны сравнить скорости этих двух точек на протяжении всего времени t. Мы начнем с выражения для скоростей и обратимся к элементам математики для решения этой задачи.

Скорость - это производная позиции по времени. То есть:

\[v_1(t) = \frac{dx_1}{dt} \quad \text{и} \quad v_2(t) = \frac{dx_2}{dt}\]

Давайте найдем эти скорости. Первая точка имеет позицию \(x_1(t) = 9t^2 + 1\), тогда

\[v_1(t) = \frac{d(9t^2+1)}{dt}.\]

Для нахождения производной, мы можем применить правило дифференцирования для суммы и правило дифференцирования для степенной функции. Правильно?

\(\frac{d(9t^2+1)}{dt} = \frac{d(9t^2)}{dt} + \frac{d(1)}{dt}\)

\(\frac{d(9t^2+1)}{dt} = 18t + 0 = 18t.\)

Таким образом, скорость первой точки равна \(v_1(t) = 18t\).

Теперь посмотрим на вторую точку. У нее позиция \(x_2(t) = t^3\), а значит

\[v_2(t) = \frac{d(t^3)}{dt}.\]

Опять используем правило дифференцирования степенной функции:

\[v_2(t) = 3t^2.\]

Итак, скорость второй точки \(v_2(t) = 3t^2\).

Теперь, чтобы найти интервал времени, когда скорость первой точки меньше скорости второй точки, мы можем составить неравенство:

\[v_1(t) < v_2(t).\]

Подставим значение скоростей и решим это неравенство:

\[18t < 3t^2.\]

Для решения этого квадратного неравенства, давайте сначала выведем его в стандартную форму:

\[3t^2 - 18t > 0.\]

Теперь факторизуем по общему множителю \(3t\):

\[3t(t - 6) > 0.\]

Учитывая, что константа \(3\) положительна, наше неравенство будет выполняться только в двух случаях:

1) \(t > 0\) и \(t - 6 > 0\), что означает \(t > 6\).

2) \(t < 0\) и \(t - 6 < 0\), что означает \(t < 6\).

Таким образом, чтобы скорость первой точки была ниже скорости второй точки, интервал времени должен быть \(-\infty < t < 0\) или \(t > 6\).

Надеюсь, ответ был достаточно подробным и понятным! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, задавайте!