Какие значения у x и y являются решением уравнения x^2*y^2 + x^2 + y^2 = 3736? Введите все возможные решения

Laska

28

Для начала давайте преобразуем данное уравнение для удобства решения:

\[x^2 \cdot y^2 + x^2 + y^2 = 3736\]

Мы видим, что все термы в этом уравнении содержат квадраты переменных. Попробуем переписать его, используя замену переменных:

Пусть \(a = x^2\) и \(b = y^2\), тогда уравнение можно записать в следующем виде:

\[a \cdot b + a + b = 3736\]

Теперь давайте решим это уравнение шаг за шагом.

1. Раскроем скобки и приведем подобные члены:

\[a \cdot b + a + b = 3736\]
\[ab + a + b = 3736\]

2. Добавим 1 к обеим сторонам уравнения для удобства факторизации:

\[ab + a + b + 1 = 3736 + 1\]
\[ab + a + b + 1 = 3737\]

3. Используем свойство факторизации для группировки членов:

\[(a + 1)(b + 1) = 3737\]

4. Теперь, нам нужно найти все пары целочисленных значений \(a + 1\) и \(b + 1\), произведение которых равно 3737.

Разложим число 3737 на простые множители: 3737 = 29 * 29 * 13

Таким образом, у нас есть несколько возможных комбинаций для \(a + 1\) и \(b + 1\):

\[
\begin{align*}
a + 1 & = 1, \quad b + 1 = 3737 \\
a + 1 & = 29, \quad b + 1 = 129\\
a + 1 & = 13, \quad b + 1 = 289\\
a + 1 & = 3737, \quad b + 1 = 1\\
a + 1 & = 129, \quad b + 1 = 29\\
a + 1 & = 289, \quad b + 1 = 13\\
\end{align*}
\]

5. Найти значения \(x\) и \(y\). Мы помним, что \(a = x^2\) и \(b = y^2\), поэтому вычитаем 1 из каждого выражения:

\[
\begin{align*}
x^2 & = 0, \quad y^2 = 3736 \\
x^2 & = 28, \quad y^2 = 128\\
x^2 & = 12, \quad y^2 = 288\\
x^2 & = 3736, \quad y^2 = 0\\
x^2 & = 128, \quad y^2 = 28\\
x^2 & = 288, \quad y^2 = 12\\
\end{align*}
\]

Теперь возьмем квадратный корень из каждой стороны для получения конечных значений \(x\) и \(y\):

\[
\begin{align*}
x & = 0, \quad y = \pm 61\\
x & = \pm 5, \quad y = \pm 11\\
x & = \pm 3, \quad y = \pm 16\\
x & = \pm 61, \quad y = 0\\
x & = \pm 11, \quad y = \pm 5\\
x & = \pm 16, \quad y = \pm 3\\
\end{align*}
\]

Таким образом, все возможные решения уравнения \(x^2 \cdot y^2 + x^2 + y^2 = 3736\) имеют следующие значения \(x\) и \(y\):

\[
(0, 61), (0, -61), (5, 11), (5, -11), (-5, 11), (-5, -11), (3, 16), (3, -16), (-3, 16), (-3, -16), (61, 0), (-61, 0), (11, 5), (11, -5), (-11, 5), (-11, -5), (16, 3), (16, -3), (-16, 3), (-16, -3)
\]

Пожалуйста, обратите внимание, что эти значения пар \(x\) и \(y\) удовлетворяют исходному уравнению \(x^2 \cdot y^2 + x^2 + y^2 = 3736\).