Какую разность арифметической прогрессии необходимо выбрать, чтобы минимизировать значение произведения 3-го и 5-го

Муся

26

Данная задача относится к арифметическим прогрессиям, которые состоят из членов, увеличивающихся (или уменьшающихся) на постоянную разность. Чтобы решить задачу, давайте разберемся в каждом шаге подробно:

1. Пусть \(a\) - первый член арифметической прогрессии, а \(d\) - разность прогрессии. Нам нужно выбрать разность \(d\) так, чтобы минимизировать значение произведения третьего (\(a+2d\)) и пятого (\(a+4d\)) члена прогрессии.

2. Утроение второго члена прогрессии даёт нам \(3(a+d)\). Из условия также следует, что если прибавить к этому члену четвертый (\(a+3d\)) член прогрессии, мы должны получить определенное значение.

3. Итак, мы получили следующую систему уравнений:
\[
\begin{align*}
3(a+d) + (a+3d) &= \text{значение} \\
(a+2d)(a+4d) &= \text{минимальное значение произведения}
\end{align*}
\]

4. Разложим уравнение на множители:
\[
(a+2d)(a+4d) = a^2 + 6ad + 8d^2
\]

5. Для минимизации этого выражения, найдем его минимум. Для этого найдем производную по \(d\) и приравняем её к нулю:
\[
\frac{d}{dd}(a^2 + 6ad + 8d^2) = 6a + 16d = 0
\]

6. Решим данное уравнение относительно \(d\):
\[
16d = -6a \implies d = \frac{-6a}{16} = -\frac{3a}{8}
\]

7. Теперь, зная значение разности \(d\), подставим его в первое уравнение системы и решим его относительно \(a\):
\[
3(a + \left(-\frac{3a}{8}\right)) + (a + 3\left(-\frac{3a}{8}\right)) = \text{значение}
\]

8. Решив данное уравнение, найдем значение \(a\).

9. После нахождения \(a\), найдем \(d = -\frac{3a}{8}\).

Таким образом, шаг за шагом мы можем найти значения \(a\) и \(d\), чтобы минимизировать значение произведения членов арифметической прогрессии.