Найдите количество различных последовательностей из шести символов четырехбуквенного алфавита {A, B, C, D}, включающих

Тигрёнок

30

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

У нас есть четырехбуквенный алфавит {A, B, C, D}. Нам нужно найти количество различных последовательностей из шести символов, включающих ровно три буквы.

Давайте разобьем это решение на несколько шагов:

Шаг 1: Выбор трех букв
Сначала нам нужно выбрать три различные буквы из нашего алфавита {A, B, C, D}. Мы можем сделать это, выбирая каждую букву по отдельности. Всего у нас четыре варианта для первой буквы, три варианта для второй буквы и два варианта для третьей буквы. Таким образом, всего у нас \(4 \times 3 \times 2 = 24\) возможных способа выбрать три буквы.

Шаг 2: Распределение выбранных букв
Теперь, когда у нас есть выбранные три буквы, нам нужно рассмотреть, как их распределить в шести символах нашей последовательности. Поскольку у нас только три выбранные буквы, оставшиеся три символа должны быть заполнены одной из этих букв.

Мы можем рассмотреть несколько случаев:

Случай 1: Все три буквы повторяются дважды
В этом случае, мы можем выбрать любые два места для первой буквы, оставшиеся места заполнятся второй и третьей буквами. Таким образом, у нас будет \({6 \choose 2}\) способов разместить первую букву и один способ разместить оставшиеся две буквы. Это будет \({6 \choose 2} = 15\) различных последовательностей для данного случая.

Случай 2: Две буквы повторяются дважды, третья буква - однократно
В этом случае, мы можем выбрать два места для первой повторяющейся буквы, два места для второй повторяющейся буквы и оставшееся место для третьей уникальной буквы. Таким образом, у нас будет \({6 \choose 2}\) способов разместить первую повторяющуюся букву, \({4 \choose 2}\) способов разместить вторую повторяющуюся букву и четыре способа разместить третью уникальную букву. Это будет \({6 \choose 2} \times {4 \choose 2} \times 4 = 180\) различных последовательностей для данного случая.

Случай 3: Все три буквы уникальны
В этом случае, у нас будет один способ разместить каждую из трех выбранных букв в оставшихся трех позициях последовательности. Это будет одна последовательность.

Шаг 3: Общее количество последовательностей
Теперь, для каждого из указанных выше случаев, мы знаем количество различных последовательностей. Чтобы найти общее количество последовательностей, мы просто суммируем количество последовательностей для каждого случая.

Общее количество последовательностей будет \(15 + 180 + 1 = 196\) различных последовательностей из шести символов четырехбуквенного алфавита {A, B, C, D}, включающих ровно три буквы.

Таким образом, ответ на задачу составляет 196 различных последовательностей.