Найдите косинус угла α, который образуют прямые BN и CM в кубе ABCDA1B1C1D1, если на ребрах B1C1 и C1D1 отмечены точки

Yana

52

Чтобы найти косинус угла α, образованного прямыми BN и CM в кубе ABCDA1B1C1D1, мы можем воспользоваться геометрическими свойствами косинусов и отношением сторон.

Дано, что B1N:NC1 = 1:4 и C1M:MD1 = 1:4. Пусть сторона куба равна а. Тогда длина отрезка B1N равна a/5 (1/5 от стороны), а длина отрезка NC1 равна 4a/5 (4/5 от стороны).

Также длина отрезка C1M равна a/5 (1/5 от стороны), а длина отрезка MD1 равна 4a/5 (4/5 от стороны).

Рассмотрим треугольник BNC. Мы можем использовать теорему косинусов для нахождения косинуса угла NBC.

Вспомним, что:
\[
\cos\alpha = \frac{{\text{прилежащая сторона}}}{{\text{гипотенуза}}}
\]

В треугольнике BNC гипотенузой будет отрезок BN, а прилежащей стороной будет отрезок NC1.

Таким образом, косинус угла NBC будет равен:
\[
\cos \angle NBC = \frac{{NC1}}{{BN}} = \frac{{4a/5}}{{a/5}} = 4
\]

Теперь рассмотрим треугольник CDM. Снова, мы можем использовать теорему косинусов для нахождения косинуса угла MCD.

В треугольнике CDM гипотенузой будет отрезок CM, а прилежащей стороной будет отрезок MD1.

Таким образом, косинус угла MCD будет равен:
\[
\cos \angle MCD = \frac{{MD1}}{{CM}} = \frac{{4a/5}}{{a/5}} = 4
\]

Так как нам нужно найти косинус угла α, образованного прямыми BN и CM, мы можем использовать свойство косинусов, которое гласит, что косинус угла равен произведению косинусов соответствующих половинных углов.

Таким образом, косинус угла α будет равен:
\[
\cos \alpha = \cos \left(\frac{{\angle NBC + \angle MCD}}{2}\right) = \cos \left(\frac{{4 + 4}}{2}\right) = \cos 4
\]

Итак, косинус угла α, который образуют прямые BN и CM в кубе ABCDA1B1C1D1, равен 4. Ответ: cosα = 4.