Найти интервалы, на которых функция возрастает или убывает. Только 1 столбик) 1) Найти интервалы, где значение

Лисенок

14

Конечно! Давайте посмотрим на каждую задачу по очереди.

1) Функция: \(y=3x-1\)

Для того чтобы найти интервалы, на которых функция возрастает или убывает, нужно проанализировать знак производной функции.

Производная функции \(y=3x-1\) равна 3. Поскольку производная положительна (3 > 0), это означает, что функция возрастает на всей числовой прямой.

Таким образом, интервал, на котором функция возрастает, может быть записан следующим образом: \((-\infty, +\infty)\).

2) Функция: \(y=2x^2-5x\)

Для этой функции мы также найдем производную, чтобы найти интервалы возрастания и убывания.

Производная функции \(y=2x^2-5x\) равна \(4x-5\). Чтобы найти значения \(x\), при которых производная равна нулю, решим уравнение \(4x-5=0\):

\[4x-5=0\]

\[4x=5\]

\[x=\frac{5}{4}\]

Затем нам нужно проверить значение производной на интервалах до и после \(\frac{5}{4}\).

Для \(x < \frac{5}{4}\), выбираем \(x=1\):

\[4(1)-5=-1\]

Для \(x > \frac{5}{4}\), выбираем \(x=2\):

\[4(2)-5=3\]

Мы видим, что значение производной отрицательно (\(-1\)) для \(x < \frac{5}{4}\) и положительно (\(3\)) для \(x > \frac{5}{4}\).

Следовательно, функция возрастает при \(x > \frac{5}{4}\) и убывает при \(x < \frac{5}{4}\).

Таким образом, интервал возрастания можно записать как \(\left(\frac{5}{4}, +\infty\right)\), а интервал убывания как \((-\infty, \frac{5}{4})\).

3) Функция: \(y=-x^3+3x^2\)

Вычислим производную функции \(y=-x^3+3x^2\). Производная будет равна \(-3x^2+6x\). Чтобы найти значения \(x\), при которых производная равна нулю, решим уравнение \(-3x^2+6x=0\):

\[-3x^2+6x=0\]

\[3x(-x+2)=0\]

Получаем два значений \(x\): \(x=0\) и \(x=2\).

Затем нам нужно проверить значение производной на интервалах до и после этих точек.

Для \(x < 0\), выбираем \(x=-1\):

\[-3(-1)^2+6(-1)=-3-6=-9\]

Для \(0 < x < 2\), выбираем \(x=1\):

\[-3(1)^2+6(1)=3\]

Для \(x > 2\), выбираем \(x=3\):

\[-3(3)^2+6(3)=-9\]

Мы видим, что производная функции меняет знак: отрицательное значение для \(x < 0\), положительное значение для \(0 < x < 2\) и снова отрицательное значение для \(x > 2\).

Следовательно, функция возрастает на интервале \((0, 2)\) и убывает на интервалах \((-\infty, 0)\) и \((2, +\infty)\).

4) Функция: \(y=x^4-18x^2\)

Найдем производную функции \(y=x^4-18x^2\). Производная будет равна \(4x^3-36x\). Чтобы найти значения \(x\), при которых производная равна нулю, решим уравнение: \(4x^3-36x=0\).

Факторизуем:

\(4x(x^2-9)=0\)

\(4x(x+3)(x-3)=0\)

Получаем три значения \(x\): \(x=0\), \(x=-3\) и \(x=3\).

Затем нам нужно проверить значение производной на интервалах до и после этих точек.

Для \(x < -3\), выбираем \(x=-4\):

\(4(-4)^3-36(-4)=-208\)

Для \(-3 < x < 0\), выбираем \(x=-2\):

\(4(-2)^3-36(-2)=16\)

Для \(0 < x < 3\), выбираем \(x=1\):

\(4(1)^3-36(1)=-32\)

Для \(x > 3\), выбираем \(x=4\):

\(4(4)^3-36(4)=208\)

Мы видим, что производная функции меняет знак: отрицательное значение для \(x < -3\) и для \(0 < x < 3\), а положительное значение для \(-3 < x < 0\) и \(x > 3\).

Следовательно, функция возрастает на интервалах \((-3, 0)\) и \((3, +\infty)\), а убывает на интервалах \((-\infty, -3)\) и \((0, 3)\).

5) Функция: \(y=x^3+3x^2-24x+1\)

Вычислим производную функции \(y=x^3+3x^2-24x+1\). Производная будет равна \(3x^2+6x-24\). Чтобы найти значения \(x\), при которых производная равна нулю, решим уравнение: \(3x^2+6x-24=0\).

Делим все числа на 3: \(x^2+2x-8=0\).

Факторизуем: \((x+4)(x-2)=0\).

Получаем два значения \(x\): \(x=-4\) и \(x=2\).

Проанализируем значение производной на интервалах до и после этих точек.

Для \(x < -4\), выбираем \(x=-5\):

\(3(-5)^2+6(-5)-24=16\)

Для \(-4 < x < 2\), выбираем \(x=0\):

\(3(0)^2+6(0)-24=-24\)

Для \(x > 2\), выбираем \(x=3\):

\(3(3)^2+6(3)-24=30\)

Мы видим, что производная функции меняет знак: положительное значение для \(x < -4\) и \(x > 2\), а отрицательное значение для \(-4 < x < 2\).

Следовательно, функция возрастает на интервалах \((-4, 2)\) и убывает на интервалах \((-\infty, -4)\) и \((2, +\infty)\).

6) Функция: \(y=\frac{2x-3}{x-2}\)

Для этой функции мы также найдем производную, чтобы найти интервалы возрастания и убывания.

Сначала упростим функцию, разделив числитель и знаменатель на \((x-2)\):

\(y=\frac{2x-3}{x-2}=\frac{2(x-2)+1}{x-2}=2+\frac{1}{x-2}\).

Производная функции \(y=2+\frac{1}{x-2}\) будет равна \(0\), так как константа 2 не будет влиять на значение производной. Рассмотрим \(\frac{1}{x-2}=0\).

Мы видим, что \(\frac{1}{x-2}\) будет равно нулю только при \(x-2 \neq 0\). Таким образом, у этой функции нет точек, где значение производной будет равно нулю.

Следовательно, эта функция не возрастает и не убывает ни на каких интервалах.

7) Я заметил, что вы задали только 6 задач, а не 7. Если у вас есть еще задача, пожалуйста, перечислите ее. Я с радостью помогу вам с ней!