Найдите косинус угла между плоскостью АВС и плоскостью: а) АВС1; б) ADC1 для прямоугольного параллелепипеда ABCDA1,В1

Murlyka

19

Для начала, давайте разберемся с построением плоскостей. У нас есть прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1.

Плоскость АВС проходит через точки А, В и С. Поскольку прямоугольный параллелепипед имеет параллельные стороны AB и CD, а также AD и BC, то плоскость АВС проходит параллельно плоскостям A1B1C1 и ADC1. Поэтому необходимо найти косинус угла между плоскостью АВС и данными плоскостями.

а) Косинус угла между плоскостью АВС и плоскостью А1В1С1. Чтобы найти косинус, мы можем использовать нормали плоскостей. Нормаль плоскости - это вектор, перпендикулярный этой плоскости. В нашем случае, нормаль к плоскости АВС - это вектор, перпендикулярный AB и BC. Поэтому нормаль плоскости АВС имеет направление, задаваемое векторным произведением AB и BC.

\[ \vec{AB} = (B - A) = (4 - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (4, 0, 0) \]
\[ \vec{BC} = (C - B) = (4 - 0, 0 - 0, 4 - 0) = (4, 0, 4) \]

Теперь найдем векторное произведение:

\[ \vec{N_{ABC}} = \vec{AB} \times \vec{BC} \]
\[ \vec{N_{ABC}} = (4, 0, 0) \times (4, 0, 4) \]

Вычислим векторное произведение:

\[ \vec{N_{ABC}} = ((0 \cdot 4) - (0 \cdot 4), (0 \cdot 4) - (0 \cdot 4), (4 \cdot 0) - (4 \cdot 0)) = (0, 0, 0) \]

Векторное произведение равно нулевому вектору, что говорит о том, что плоскость АВС и плоскость А1В1С1 параллельны. Следовательно, косинус угла между этими плоскостями равен 1.

б) Косинус угла между плоскостью АВС и плоскостью ADC1. Мы можем использовать тот же подход для поиска нормалей каждой плоскости.

Нормаль плоскости АВС уже найдена в предыдущем пункте и равна \((0, 0, 0)\).

Чтобы найти нормаль плоскости ADC1, нам нужно найти векторный произведение AD и DC1:

\[ \vec{AD} = (D - A) = (3 - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (3, 0, 0) \]
\[ \vec{DC1} = (C1 - D) = (4 - 0, 4 - 0, 0 - 0) = (4, 4, 0) \]

Вычислим векторное произведение:

\[ \vec{N_{ADC1}} = \vec{AD} \times \vec{DC1} \]
\[ \vec{N_{ADC1}} = (3, 0, 0) \times (4, 4, 0) \]

\[ \vec{N_{ADC1}} = ((0 \cdot 4) - (0 \cdot 4), (0 \cdot 0) - (0 \cdot 0), (3 \cdot 4) - (0 \cdot 4)) = (0, 0, 12) \]

Как видно, нормал плоскости ADC1 не равна нулевому вектору, поэтому плоскость АВС и плоскость ADC1 пересекаются. Следовательно, косинус угла между этими плоскостями будет отличен от 1. Однако, чтобы точно найти косинус этого угла, нам не хватает информации о взаимной ориентации плоскостей. Для полного решения задачи необходимо указать дополнительные условия или значения для нахождения угла между плоскостью АВС и плоскостью ADC1.