Найдите квадрат косинуса B в прямоугольном треугольнике ABC, где С=90° и sinB=(4 корня из 3)/10

Boris

55

Для начала, давайте вспомним основные определения и свойства в прямоугольном треугольнике. В прямоугольном треугольнике, где угол С является прямым (равным 90°), другие два угла А и В являются острыми углами. Также, в прямоугольном треугольнике ABC, где sin B = (4 корня из 3)/10, мы можем найти косинус угла B.

Косинус угла B определен как отношение прилежащего катета к гипотенузе треугольника ABC. В нашем случае, мы знаем sin B, а это равно стороне, противолежащей углу B, деленной на гипотенузу треугольника. Поэтому, нам нужно сначала найти гипотенузу треугольника ABC.

Используя теорему Пифагора, мы можем записать:
$$A{B}^2+B{C}^2=A{C}^2$$

Мы знаем, что угол С является прямым, поэтому гипотенуза равна гипотенузе AC:
$$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2$$

Также, мы знаем, что $\sin B=\frac{4\sqrt{3}}{10}$. Вспомним определение синуса в прямоугольном треугольнике:
$$\sin B=\frac{\text{{противолежащий катет}}}{\text{{гипотенуза}}}$$

Подставляя известные значения, получаем:
$$\frac{4\sqrt{3}}{10}=\frac{AB}{AC}$$

Отсюда можно найти соотношение между сторонами треугольника:
$$AB=\frac{4\sqrt{3}}{10}\cdot AC$$

Теперь, зная это, мы можем заменить значение AB в уравнении для гипотенузы:
$$A{C}^2={(\frac{4\sqrt{3}}{10}\cdot AC)}^2+B{C}^2$$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$$A{C}^2=\frac{48}{100}A{C}^2+B{C}^2$$

Упростим эту формулу:
$$A{C}^2-\frac{48}{100}A{C}^2=B{C}^2$$
$$\frac{52}{100}A{C}^2=B{C}^2$$

Теперь мы можем найти отношение сторон треугольника:
$$\frac{BC}{AC}=\sqrt{\frac{52}{100}}$$

Упростив это выражение, получим:
$$\frac{BC}{AC}=\frac{2\sqrt{13}}{10}$$

Итак, мы нашли отношение прилежащего катета BC к гипотенузе AC. Таким образом, квадрат косинуса угла B равен квадрату этого отношения:
$${\cos }^{2}B={\left(\frac{2\sqrt{13}}{10}\right)}^2$$

Вычислим это значение:
$${\cos }^{2}B=\frac{4\cdot 13}{100}=\frac{52}{100}=\frac{13}{25}$$

Таким образом, квадрат косинуса угла B в прямоугольном треугольнике ABC, где С = 90° и $\sin B=\frac{4\sqrt{3}}{10}$, равен $\frac{13}{25}$.