Найдите квадрат косинуса B в прямоугольном треугольнике ABC, где С=90° и sinB=(4 корня из 3)/10

Boris

55

Для начала, давайте вспомним основные определения и свойства в прямоугольном треугольнике. В прямоугольном треугольнике, где угол С является прямым (равным 90°), другие два угла А и В являются острыми углами. Также, в прямоугольном треугольнике ABC, где sin B = (4 корня из 3)/10, мы можем найти косинус угла B.

Косинус угла B определен как отношение прилежащего катета к гипотенузе треугольника ABC. В нашем случае, мы знаем sin B, а это равно стороне, противолежащей углу B, деленной на гипотенузу треугольника. Поэтому, нам нужно сначала найти гипотенузу треугольника ABC.

Используя теорему Пифагора, мы можем записать:
\[AB^2 + BC^2 = AC^2\]

Мы знаем, что угол С является прямым, поэтому гипотенуза равна гипотенузе AC:
\[AC^2 = AB^2 + BC^2\]

Также, мы знаем, что \(\sin B = \frac{4\sqrt{3}}{10}\). Вспомним определение синуса в прямоугольном треугольнике:
\[\sin B = \frac{\text{{противолежащий катет}}}{\text{{гипотенуза}}}\]

Подставляя известные значения, получаем:
\[\frac{4\sqrt{3}}{10} = \frac{AB}{AC}\]

Отсюда можно найти соотношение между сторонами треугольника:
\[AB = \frac{4\sqrt{3}}{10} \cdot AC\]

Теперь, зная это, мы можем заменить значение AB в уравнении для гипотенузы:
\[AC^2 = \left(\frac{4\sqrt{3}}{10} \cdot AC\right)^2 + BC^2\]

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
\[AC^2 = \frac{48}{100} AC^2 + BC^2\]

Упростим эту формулу:
\[AC^2 - \frac{48}{100} AC^2 = BC^2\]
\[\frac{52}{100} AC^2 = BC^2\]

Теперь мы можем найти отношение сторон треугольника:
\[\frac{BC}{AC} = \sqrt{\frac{52}{100}}\]

Упростив это выражение, получим:
\[\frac{BC}{AC} = \frac{2\sqrt{13}}{10}\]

Итак, мы нашли отношение прилежащего катета BC к гипотенузе AC. Таким образом, квадрат косинуса угла B равен квадрату этого отношения:
\[\cos^2 B = \left(\frac{2\sqrt{13}}{10}\right)^2\]

Вычислим это значение:
\[\cos^2 B = \frac{4 \cdot 13}{100} = \frac{52}{100} = \frac{13}{25}\]

Таким образом, квадрат косинуса угла B в прямоугольном треугольнике ABC, где С = 90° и \(\sin B = \frac{4\sqrt{3}}{10}\), равен \(\frac{13}{25}\).