Найдите максимальную скорость груза массой m на гладкой горизонтальной поверхности. Грузы имеют массы m и 8m и связаны
Найдите максимальную скорость груза массой m на гладкой горизонтальной поверхности. Грузы имеют массы m и 8m и связаны невесомой недеформированной пружиной с жесткостью k = 50 н/м. Груз массой m удерживается, а груз массой 8m начинает движение со скоростью v0 = 0,3 м/с, направленной к легкому грузу. Когда тяжелый груз останавливается, легкий груз отпускается. Ответ предоставьте в метрах в секунду (м/с). Если ответ представляет собой бесконечную десятичную дробь, округлите его до сотых. Если ответ является конечной десятичной дробью или целым числом, не округляйте его.
Мишутка 32
Для решения данной задачи мы можем использовать законы сохранения энергии и импульса. Давайте разобъем решение на несколько шагов:Шаг 1: Рассмотрим начальное состояние системы до начала движения тяжелого груза. Так как тяжелый груз удерживается, его начальная скорость равна нулю.
Шаг 2: Когда груз массой 8m начинает движение со скоростью \(v_0 = 0.3\) м/с, направленной к тяжелому грузу, пружина начинает сжиматься. После этого у тяжелого груза появляется начальная скорость \(v\) в направлении движения легкого груза, а легкий груз остается неподвижным из-за его большой массы. В этот момент импульс системы остается сохраненным.
Мы можем записать это математически:
\[
\begin{align*}
m \cdot 0 + 8m \cdot 0.3 &= m \cdot v + 8m \cdot 0 \\
2.4m &= m \cdot v \\
v &= 2.4 \, \text{м/с}
\end{align*}
\]
Таким образом, скорость тяжелого груза после отскока от легкого груза составляет 2.4 м/с.
Шаг 3: Теперь рассмотрим состояние системы, когда тяжелый груз полностью остановился. В этот момент пружина максимально сжата и всю кинетическую энергию получила легкий груз.
Мы можем использовать закон сохранения энергии для нахождения максимальной скорости легкого груза. Потенциальная энергия, накопленная в пружине, превратится в его кинетическую энергию.
\[
\frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} m v^2
\]
Здесь \(x\) - максимальное сжатие пружины. Заметим, что сжатие пружины равно смещению между тяжелым и легким грузами, которое можно обозначить как \(d\). Таким образом, \(x = 2d\). Подставим это значением выражение для потенциальной энергии:
\[
\frac{1}{2} k (2d)^2 = \frac{1}{2} m v^2
\]
\[
2k d^2 = m v^2
\]
\[
2 \cdot 50 \cdot d^2 = m \cdot 2.4^2
\]
\[
100 d^2 = 5.76 m
\]
\[
d^2 = \frac{5.76 m}{100} = 0.0576 m
\]
\[
d = \sqrt{0.0576} \approx 0.24 m
\]
Шаг 4: Теперь мы можем найти максимальную скорость легкого груза, используя закон сохранения энергии:
\[
\frac{1}{2} m v_{\text{макс}}^2 = \frac{1}{2} k d^2
\]
\[
v_{\text{макс}}^2 = \frac{k d^2}{m}
\]
\[
v_{\text{макс}}^2 = \frac{50 \cdot 0.24^2}{m}
\]
\[
v_{\text{макс}} = \sqrt{\frac{50 \cdot 0.24^2}{m}}
\]
Таким образом, максимальная скорость легкого груза составит:
\[
v_{\text{макс}} = \sqrt{\frac{50 \cdot 0.24^2}{m}} \, \text{м/с}
\]
Ответ представлен в метрах в секунду (м/с).