Найдите наклон касательной к кривой y=1/12 x^3+5 в точке с определенной абсциссой

Черепашка_Ниндзя

23

Чтобы найти наклон касательной к кривой \(y = \frac{1}{12}x^3 + 5\) в точке \(x = a\), мы должны сначала найти производную этой функции. Производная функции \(y\) даст нам значение скорости изменения функции в каждой точке.

Так как кривая представлена в виде степенной функции, мы можем использовать правило дифференцирования степенных функций для нахождения производной. Правило гласит: если у нас есть функция вида \(f(x) = ax^n\), где \(a\) и \(n\) - константы, то ее производная записывается как \(f"(x) = anx^{n-1}\).

Давайте найдем производную функции \(y\):

\[y = \frac{1}{12}x^3 + 5\]
\[y" = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{12}x^3 + 5\right)\]
\[y" = \frac{1}{12} \cdot \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(5)\]
\[y" = \frac{1}{12} \cdot 3x^2 + 0\]
\[y" = \frac{1}{4}x^2\]

Теперь у нас есть производная функции \(y\), которая равна \(y" = \frac{1}{4}x^2\). Чтобы найти наклон касательной в точке с абсциссой \(x = a\), мы можем подставить \(x = a\) в выражение для производной.

Таким образом, наклон касательной в точке \(x = a\) составляет \(\frac{1}{4}a^2\). Чтобы найти конкретное значение наклона, мы должны знать значение \(a\).

Надеюсь, это решение помогло вам понять, как найти наклон касательной к заданной кривой в заданной точке. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.