Найдите напряженность и потенциал электрического поля в различных точках около сплошной металлической сферы радиусом

Misticheskiy_Lord

64

Чтобы найти напряженность и потенциал электрического поля около сплошной металлической сферы, мы можем воспользоваться законом Кулона для электрического поля, а также формулой для потенциала. Для начала, вычислим заряд, содержащийся на сфере.

Заряд на сфере можно найти, умножив поверхностную плотность заряда на площадь поверхности сферы. Площадь поверхности сферы можно найти по формуле \(S = 4\pi r^2\), где \(r\) - радиус сферы.

Давайте подставим данное значение в формулу, получим:

\[S = 4\pi \cdot (0.2 \, \text{м})^2 = 4\pi \cdot 0.04 \, \text{м}^2 = 0.16\pi \, \text{м}^2\]

Теперь, когда у нас есть значение площади поверхности сферы, мы можем найти заряд, умножив площадь на поверхностную плотность заряда. Подставим значение поверхностной плотности заряда \(s = 10^{-9}\, \text{кл/м}^2\) и получим:

\[Q = s \cdot S = 10^{-9}\, \text{кл/м}^2 \cdot 0.16\pi \, \text{м}^2 = 1.6 \cdot 10^{-10} \pi \, \text{кл}\]

Теперь зная величину заряда, давайте определим напряженность электрического поля в различных точках около сферы.

1) В точках на расстоянии \(r_1 = 16\, \text{см}\) от центра сферы:

Напряженность электрического поля около сферы находится по формуле

\[E = \frac{Q}{4\pi \varepsilon r^2}\]

где \(Q\) - заряд, \(r\) - расстояние от центра сферы до точки, \(\varepsilon\) - диэлектрическая проницаемость пространства.

Подставим значения и рассчитаем значение электрической напряженности \(E_1\) в точках, находящихся на расстоянии \(r_1 = 16\, \text{см}\) от центра сферы:

\[E_1 = \frac{1.6 \cdot 10^{-10} \pi \, \text{кл}}{4\pi \cdot 8.85 \cdot 10^{-12} \, \text{Ф/м} \cdot (0.16\, \text{м})^2} = \frac{1}{0.5632 \cdot 10^{-11}} \frac{\text{кл}}{\text{м}^2} = 1.776 \cdot 10^9 \, \frac{\text{кл}}{\text{м}^2}\]

Таким образом, напряженность электрического поля в точках, находящихся на расстоянии \(r_1 = 16\, \text{см}\) от центра сферы, равна \(1.776 \cdot 10^9 \, \frac{\text{кл}}{\text{м}^2}\).

2) На поверхности сферы:

На поверхности металлической сферы напряженность электрического поля всегда перпендикулярна поверхности и имеет одно и то же значение - она равна \(E_2 = \frac{Q}{4\pi \varepsilon r^2}\).

Подставим значения и рассчитаем значение напряженности электрического поля \(E_2\) на поверхности сферы:

\[E_2 = \frac{1.6 \cdot 10^{-10} \pi \, \text{кл}}{4\pi \cdot 8.85 \cdot 10^{-12} \, \text{Ф/м} \cdot (0.2\, \text{м})^2} = \frac{1}{1.12 \cdot 10^{-11}} \frac{\text{кл}}{\text{м}^2} = 8.93 \cdot 10^{10} \frac{\text{кл}}{\text{м}^2}\]

Таким образом, напряженность электрического поля на поверхности сферы равна \(8.93 \cdot 10^{10} \frac{\text{кл}}{\text{м}^2}\).

3) В точках на расстоянии \(r_2 = 36\, \text{см}\) от центра сферы:

Аналогично предыдущему пункту, по формуле

\[E = \frac{Q}{4\pi \varepsilon r^2}\]

подставим значения и рассчитаем значение электрической напряженности \(E_3\) в точках, находящихся на расстоянии \(r_2 = 36\, \text{см}\) от центра сферы:

\[E_3 = \frac{1.6 \cdot 10^{-10} \pi \, \text{кл}}{4\pi \cdot 8.85 \cdot 10^{-12} \, \text{Ф/м} \cdot (0.36\, \text{м})^2} = \frac{1}{3.19776 \cdot 10^{-11}} \frac{\text{кл}}{\text{м}^2} = 3.13 \cdot 10^9 \frac{\text{кл}}{\text{м}^2}\]

Таким образом, напряженность электрического поля в точках, находящихся на расстоянии \(r_2 = 36\, \text{см}\) от центра сферы, составляет \(3.13 \cdot 10^9 \frac{\text{кл}}{\text{м}^2}\).

Теперь давайте найдем потенциал электрического поля в этих точках.

Потенциал электрического поля можно найти по формуле

\[V = \frac{kQ}{r}\]

где \(V\) - потенциал, \(k\) - коэффициент, равный \(\frac{1}{4\pi\varepsilon}\), \(Q\) - заряд, \(r\) - расстояние от центра сферы до точки.

Вычислим значения потенциалов \(V_1\), \(V_2\) и \(V_3\) для каждой из указанных точек:

1) Для точек на расстоянии \(r_1 = 16\, \text{см}\) от центра сферы:

\[V_1 = \frac{1}{4\pi\varepsilon} \cdot \frac{1.6 \cdot 10^{-10} \pi \, \text{кл}}{0.16\, \text{м}} = \frac{1}{8.85 \cdot 10^{-12} \, \text{Ф/м}} \cdot \frac{1.6 \cdot 10^{-10} \, \text{кл}}{0.16\, \text{м}} = \frac{1}{8.85 \cdot 0.16 \cdot 10^{-22}} \, \text{Дж/Кл} = 7.85 \cdot 10^{10} \, \text{Дж/Кл}\]

2) На поверхности сферы:

\[V_2 = \frac{1}{4\pi\varepsilon} \cdot \frac{1.6 \cdot 10^{-10} \pi \, \text{кл}}{0.2\, \text{м}} = \frac{1}{8.85 \cdot 10^{-12} \, \text{Ф/м}} \cdot \frac{1.6 \cdot 10^{-10} \, \text{кл}}{0.2\, \text{м}} = \frac{1}{8.85 \cdot 0.2 \cdot 10^{-22}} \, \text{Дж/Кл} = 4.53 \cdot 10^{10} \, \text{Дж/Кл}\]

3) Для точек на расстоянии \(r_2 = 36\, \text{см}\) от центра сферы:

\[V_3 = \frac{1}{4\pi\varepsilon} \cdot \frac{1.6 \cdot 10^{-10} \pi \, \text{кл}}{0.36\, \text{м}} = \frac{1}{8.85 \cdot 10^{-12} \, \text{Ф/м}} \cdot \frac{1.6 \cdot 10^{-10} \, \text{кл}}{0.36\, \text{м}} = \frac{1}{8.85 \cdot 0.36 \cdot 10^{-22}} \, \text{Дж/Кл} = 9.92 \cdot 10^9 \, \text{Дж/Кл}\]

Таким образом, потенциал электрического поля в точках, находящихся на расстоянии \(r_1 = 16\, \text{см}\) от центра сферы, на поверхности сферы и на расстоянии \(r_2 = 36\, \text{см}\) от центра сферы, соответственно равен \(7.85 \cdot 10^{10} \, \text{Дж/Кл}\), \(4.53 \cdot 10^{10} \, \text{Дж/Кл}\) и \(9.92 \cdot 10^9 \, \text{Дж/Кл}\).