Найдите ось симметрии и интервалы возрастания и убывания для графика квадратичной функции у = х2 + 2х – 3. Определите

Сэр_5506

14

Для нахождения оси симметрии квадратичной функции \(y = x^2 + 2x - 3\) мы можем воспользоваться формулой \(x = -\frac{b}{2a}\), где \(a\) и \(b\) - коэффициенты квадратичной функции в стандартной форме \(y = ax^2 + bx + c\).

В данном случае, коэффициент \(a = 1\) и \(b = 2\), поэтому ось симметрии будет находиться по формуле \(x = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1\).

Теперь рассмотрим интервалы возрастания и убывания функции.

1. Интервалы возрастания:
Для нахождения интервалов возрастания функции, нам нужно определить, где функция увеличивается. Для этого мы можем посмотреть на знак производной функции.

Возьмем производную функции \(y = x^2 + 2x - 3\):
\[y" = 2x + 2\]

Чтобы найти значения \(x\), при которых \(y" > 0\), поставим \(y" = 0\) и решим уравнение:
\[2x + 2 = 0\]
\[2x = -2\]
\[x = -1\]

Таким образом, интервал возрастания функции будет \((- \infty, -1)\).

2. Интервалы убывания:
Для нахождения интервалов убывания функции, нам нужно определить, где функция уменьшается. Мы можем посмотреть на знак производной функции.

Мы уже вычислили производную функции: \(y" = 2x + 2\).

Теперь решим неравенство \(y" < 0\):
\[2x + 2 < 0\]
\[2x < -2\]
\[x < -1\]

Таким образом, интервал убывания функции будет \((- \infty, -1)\).

Чтобы найти координаты точки пересечения графика функции с осью Oy, нужно подставить \(x = 0\) в исходное уравнение:
\[y = (0)^2 + 2(0) - 3 = -3\]

Таким образом, точка пересечения графика функции с осью Oy будет иметь координаты (0, -3).

Нули функции можно найти, приравняв \(y\) к нулю и решив полученное квадратное уравнение:
\[x^2 + 2x - 3 = 0\]

Мы можем решить это уравнение с помощью факторизации или использования квадратного корня. Получаем:
\[(x - 1)(x + 3) = 0\]

Таким образом, нули функции будут \(x = 1\) и \(x = -3\).

Чтобы определить промежутки, на которых функция имеет постоянный знак, мы можем использовать таблицу знаков. Возьмем три значения \(x\), например, \(-4\), \(-1\), и \(2\), и подставим их в функцию \(y = x^2 + 2x - 3\).

Получим следующую таблицу знаков:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\ \hline
-4 & + \\ \hline
-1 & - \\ \hline
2 & + \\ \hline
\end{array}
\]

Из таблицы знаков мы видим, что функция имеет положительный знак на интервалах \((- \infty, -3)\) и \((1, + \infty)\), и отрицательный знак на интервале \((-3, 1)\).

Таким образом, ответ на задачу состоит в следующем:

- Ось симметрии: \(x = -1\).
- Интервалы возрастания: \((- \infty, -1)\).
- Интервалы убывания: \((- \infty, -1)\).
- Точка пересечения графика функции с осью Oy: (0, -3).
- Нули функции: \(x = 1\) и \(x = -3\).
- Промежутки с постоянным знаком: \((- \infty, -3)\), \((-3, 1)\), и \((1, + \infty)\).