Наименьшая суммарная площадь двух квадратов при разрезании квадрата 100 × 100 на два квадрата и два равных

Таисия

48

Чтобы решить эту задачу, нам сначала нужно представить себе какие-то возможные размеры двух квадратов и двух прямоугольников, чтобы сравнить их площади. Давайте предположим, что один квадрат имеет сторону \(x\) и второй квадрат имеет сторону \(y\), где \(x\) и \(y\) - положительные числа.

Тогда площадь первого квадрата равна \((x)^2 = x^2\), а площадь второго квадрата равна \((y)^2 = y^2\).

Для прямоугольников площади мы можем записать в виде продукта длины на ширину. Пусть длина первого прямоугольника равна \(a\) и ширина равна \(b\), а длина второго прямоугольника равна \(c\) и ширина равна \(d\), где \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\) - положительные числа.

Таким образом, площадь первого прямоугольника равна \(a \cdot b\), а площадь второго прямоугольника равна \(c \cdot d\).

Мы знаем, что задача заключается в разрезании квадрата \(100 \times 100\) на два квадрата и два равных прямоугольника. То есть, все четыре фигуры должны занимать в сумме всю площадь квадрата. Поэтому, сумма площадей всех фигур должна быть равна площади квадрата \(100 \times 100\), то есть \(100^2\).

Мы можем записать это условие в виде уравнения:

\[x^2 + y^2 + a \cdot b + c \cdot d = 100^2\]

Теперь мы должны найти комбинацию значений \(x\), \(y\), \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\), которые минимизируют суммарную площадь всех фигур. Для этого нам может пригодиться метод математической оптимизации.

Но заметим, что площади квадратов \(x^2\) и \(y^2\) всегда положительны, поэтому минимальное значение суммарной площади можно достичь, когда одна из этих площадей равна нулю. Предположим, что \(x^2 = 0\). Тогда \(y^2 = 100^2\), что означает, что \(y = 100\).

Аналогично, мы можем предположить, что \(a \cdot b = 0\). Тогда \(c \cdot d = 100^2\), что означает, что \(c = 100\) и \(d = 100\).

Таким образом, минимальная суммарная площадь двух квадратов при разрезании квадрата \(100 \times 100\) составляет \(x^2 + y^2 + a \cdot b + c \cdot d = 0^2 + 100^2 + 0 \cdot 0 + 100 \cdot 100 = 10000 + 10000 = 20000\).

Итак, минимальная суммарная площадь двух квадратов и двух прямоугольников при разрезании квадрата \(100 \times 100\) составляет \(20000\) квадратных единиц.