Найдите отношение высот максимального подъема двух тел, которые брошены вертикально вверх с различными начальными

Ivan

21

Для начала, давайте разберемся с понятием отношения высот максимального подъема. Отношение высот будет означать, на сколько раз первая высота (высота максимального подъема первого тела) больше или меньше второй высоты (высоты максимального подъема второго тела).

При решении этой задачи нам потребуется использовать знание о законах движения в свободном падении. В данном случае тела брошены вертикально вверх с различными начальными скоростями, что означает, что они движутся под действием силы тяжести.

Сначала мы можем установить, что время подъема и время спуска одинаковы для обоих тел. Это происходит потому, что время подъема и время спуска зависят только от вертикальной компоненты начальной скорости тела, а они в нашем случае одинаковы.

Используя первое уравнение движения в свободном падении:
\[h = v_{0}t - \frac{1}{2}gt^{2}\]
где \(h\) - высота подъема, \(v_{0}\) - начальная скорость, \(t\) - время подъема, а \(g\) - ускорение свободного падения (приближенно равно 9.8 м/с\(^2\)).

Найдем высоту подъема для каждого из тел, используя соответствующие начальные скорости. Затем мы сравним эти высоты и найдем их отношение.

Я предлагаю начать с первого тела, которое имеет начальную скорость \(v_{1}\). Высота подъема первого тела будет равна:
\[h_{1} = v_{1}t - \frac{1}{2}gt^{2}\]

Затем нам нужно рассмотреть второе тело с начальной скоростью \(v_{2}\). Высота подъема второго тела будет:
\[h_{2} = v_{2}t - \frac{1}{2}gt^{2}\]

Так как время подъема и спуска равны для обоих тел, мы можем исключить \(t\) из уравнений. Для этого мы можем разделить оба уравнения на \(t\), получив:
\[\frac{h_{1}}{t} = v_{1} - \frac{1}{2}gt\]
и
\[\frac{h_{2}}{t} = v_{2} - \frac{1}{2}gt\]

Заметим, что у нас есть общий множитель \(\frac{1}{2}gt\), который можно сократить:
\[\frac{h_{1}}{t} = v_{1} - \frac{1}{2}gt = v_{1} - \frac{h_{2}}{t} = v_{2}\]

Теперь мы можем исключить \(t\) из этого выражения. Умножим оба уравнения на \(t\):
\[h_{1} = v_{1}t - \frac{1}{2}gt^{2}\]
и
\[h_{2} = v_{2}t - \frac{1}{2}gt^{2}\]

Теперь вычтем первое уравнение из второго:
\[h_{2} - h_{1} = (v_{2}t - \frac{1}{2}gt^{2}) - (v_{1}t - \frac{1}{2}gt^{2})\]

Упростив это выражение, мы получим:
\[h_{2} - h_{1} = (v_{2} - v_{1})t\]

Теперь мы можем поделить обе части на \(t\) и получить окончательное выражение для отношения высот максимального подъема:
\[\frac{h_{2}}{h_{1}} - 1 = \frac{v_{2} - v_{1}}{v_{1}}\]

Таким образом, отношение высот будет равно:
\[\frac{h_{2}}{h_{1}} = \frac{v_{2}}{v_{1}} - \frac{v_{1}}{v_{1}} + 1 = \frac{v_{2}}{v_{1}} + 1\]

Итак, мы получили выражение для отношения высот максимального подъема двух тел, брошенных вертикально вверх с различными начальными скоростями.