Найдите периметр и площадь правильного треугольника, который описан вокруг окружности и имеет периметр 21 см. Также

Сладкая_Вишня

4

Для начала, давайте определим, что такое правильный треугольник. Правильный треугольник - это треугольник, у которого все стороны имеют одинаковую длину, а все углы равны 60 градусам.

Теперь перейдем к решению задачи.

Периметр правильного треугольника равен сумме длин всех его сторон. В данном случае периметр равен 21 см.

Так как у нас правильный треугольник, то все его стороны равны. Поэтому каждая из сторон треугольника равна \(\frac{21}{3} = 7\) см.

Чтобы найти площадь правильного треугольника, нам необходимо знать его высоту. Высота правильного треугольника проходит через середину основания до вершины треугольника и является биссектрисой основания. По свойству биссектрисы, она делит основание на две равные части и проходит под углом в 90 градусов к основанию. Длина высоты может быть найдена по формуле \(h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\), где \(a\) - длина стороны треугольника.

Итак, подставляя значения, получаем \(h = \frac{7\sqrt{3}}{2}\) см.

Теперь мы готовы найти площадь правильного треугольника. Площадь правильного треугольника равна половине произведения длины основания и высоты. Поэтому площадь равна \(\frac{7 \cdot \frac{7\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{49\sqrt{3}}{4}\) кв. см.

Теперь рассмотрим описанную окружность. Описанная окружность - это окружность, которая проходит через все вершины треугольника. Радиус описанной окружности равен половине длины любой из сторон треугольника. Так как у нас правильный треугольник, то радиус описанной окружности равен \(\frac{7}{2}\) см.

Наконец, рассмотрим вписанную окружность. Вписанная окружность - это окружность, которая касается всех сторон треугольника. Радиус вписанной окружности можно найти, используя формулу радиуса вписанной окружности для правильного треугольника: \(r = \frac{a}{2\sqrt{3}}\), где \(a\) - длина стороны треугольника.

Подставляя значения, получаем \(r = \frac{7}{2\sqrt{3}}\) см.

Теперь перейдем ко второй части задачи, а именно квадрату, описанному около окружности с радиусом \(r\).

Радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата. Так как у нас радиус равен \(\frac{7}{2\sqrt{3}}\), то диагональ квадрата равна \(2 \cdot \frac{7}{2\sqrt{3}} = \frac{7}{\sqrt{3}}\) см.

Для нахождения стороны квадрата мы можем использовать теорему Пифагора. Так как сторона квадрата - это гипотенуза прямоугольного треугольника со сторонами, равными радиусу описанной окружности и половине диагонали квадрата, то мы можем написать следующее уравнение:

\(\text{сторона квадрата}^2 = \left(\frac{7}{2\sqrt{3}}\right)^2 + \left(\frac{7}{\sqrt{3}}\right)^2\).

Решаем это уравнение и получаем:

\(\text{сторона квадрата} = \sqrt{\left(\frac{49}{12}\right) + \left(\frac{49}{3}\right)} = \sqrt{\frac{343}{12}} = \frac{7\sqrt{3}}{2}\) см.

Теперь мы можем найти периметр квадрата, который равен четырем умноженным на длину его стороны. Поэтому периметр равен \(4 \cdot \frac{7\sqrt{3}}{2} = 14\sqrt{3}\) см.

Чтобы найти площадь квадрата, мы можем возвести его сторону в квадрат. Поэтому площадь равна \(\left(\frac{7\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{147}{4}\) кв. см.

Таким образом, периметр и площадь правильного треугольника, описанного вокруг окружности радиусом \(\frac{7}{2\sqrt{3}}\) см, составляют 21 см и \(\frac{49\sqrt{3}}{4}\) кв. см соответственно. Радиус описанной окружности равен \(\frac{7}{2}\) см, а радиус вписанной окружности равен \(\frac{7}{2\sqrt{3}}\) см. Периметр и площадь квадрата, описанного около окружности радиусом \(\frac{7}{2\sqrt{3}}\) см, составляют \(14\sqrt{3}\) см и \(\frac{147}{4}\) кв. см соответственно.