Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если радиус нижнего основания равен а, а угол между хордой и плоскостью

Совунья

39

Для решения этой задачи найдем высоту цилиндра \(h\) с помощью простой геометрии, а затем расчитаем площадь боковой поверхности.

1. Найдем высоту цилиндра \(h\). Посмотрим на сечение цилиндра плоскостью, параллельной к основанию цилиндра, и проходящей через центр верхнего основания. Получим прямоугольный треугольник с катетами \(r\) (радиус нижнего основания) и \(h\) (высота цилиндра), а также гипотенузой равной радиусу цилиндра и углом \(\beta\) между гипотенузой и плоскостью основания. Из этого треугольника мы можем записать уравнение:

\[\tan(\beta) = \frac{r}{h} \Rightarrow h = \frac{r}{\tan(\beta)}\]

2. Теперь найдем длину хорды нижнего основания цилиндра. Это равно \(2r\sin(\alpha/2)\), так как угол между хордой и плоскостью основания равен \(\alpha\), а значит между радиусом и хордой у нас будет угол \(\alpha/2\). Таким образом, длина хорды равна \(2r\sin(\alpha/2)\).

3. Теперь найдем площадь боковой поверхности цилиндра. Это равно произведению длины окружности на высоту цилиндра, то есть \(2\pi r \cdot h = 2\pi r \cdot \frac{r}{\tan(\beta)}\).

Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра равна \(\boldsymbol{2\pi r \cdot \frac{r}{\tan(\beta)}}\).