Найдите площадь боковой поверхности и площадь осевого сечения конуса, если высота конуса составляет 3 √3 см и осевое

Vesenniy_Les

48

Для решения данной задачи, мы будем использовать формулы для нахождения площади боковой поверхности и площади осевого сечения конуса.

1. Найдем площадь боковой поверхности конуса:
Формула для площади боковой поверхности конуса:

\[ P = \pi \cdot r \cdot l \]

Где:
\( P \) - площадь боковой поверхности конуса,
\( \pi \) - число пи (приближенное значение 3.14),
\( r \) - радиус основания конуса,
\( l \) - образующая конуса.

Основное свойство правильного треугольника гласит, что каждая сторона равностороннего треугольника равна радиусу описанной окружности.
Используя это свойство, найдем радиус основания конуса, который равен длине стороны правильного треугольника.

Площадь треугольника можно выразить через формулу:
\[ S_{\text{треугольника}} = \frac{{a^2 \cdot \sqrt{3}}}{4} \]
Где:
\( S_{\text{треугольника}} \) - площадь треугольника,
\( a \) - длина стороны равностороннего треугольника.

Радиус основания конуса равен длине стороны правильного треугольника:
\[ r = a \]

Так как радиус основания равен стороне треугольника, то значение длины стороны треугольника равно:

\[ a = \frac{{\sqrt{3} \cdot r}}{2} \]

Теперь найдем образующую конуса \( l \). Для этого воспользуемся теоремой Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном образующей конуса, высотой конуса и радиусом основания конуса:
\[ l^2 = r^2 + h^2 \]
Где:
\( l \) - образующая конуса,
\( r \) - радиус основания конуса,
\( h \) - высота конуса.

Подставим известные значения в формулу:
\[ l^2 = r^2 + (3\sqrt{3})^2 \]
\[ l^2 = r^2 + 9 \cdot 3 \]
\[ l^2 = r^2 + 27 \]
\[ l = \sqrt{r^2 + 27} \]

Теперь, подставляем полученные значения в формулу для площади боковой поверхности конуса:
\[ P = \pi \cdot r \cdot l \]
\[ P = \pi \cdot r \cdot \sqrt{r^2 + 27} \]

2. Найдем площадь осевого сечения конуса:
Площадь осевого сечения конуса равна площади правильного треугольника, поскольку осевое сечение является правильным треугольником.

Площадь треугольника:
\[ S_{\text{треугольника}} = \frac{{a^2 \cdot \sqrt{3}}}{4} \]
Где:
\( S_{\text{треугольника}} \) - площадь треугольника,
\( a \) - длина стороны равностороннего треугольника.

Длина стороны равностороннего треугольника \( a \) равна радиусу основания конуса \( r \), поэтому:
\[ S_{\text{осевого сечения}} = \frac{{r^2 \cdot \sqrt{3}}}{4} \]

Таким образом, площадь боковой поверхности конуса будет равна \( \pi \cdot r \cdot \sqrt{r^2 + 27} \) и площадь осевого сечения конуса будет равна \( \frac{{r^2 \cdot \sqrt{3}}}{4} \).