1. Какова площадь боковой поверхности пирамиды DАВС, у которой основание - треугольник АВС, где АВ=АС=15, ВС=18

Pushik

6

1. Для решения этой задачи нам понадобится формула для вычисления площади боковой поверхности пирамиды. Она выглядит следующим образом:

\[ S = \frac{1}{2} P \times l \]

где \(S\) - площадь боковой поверхности пирамиды, \(P\) - периметр основания, \(l\) - длина бокового ребра.

Для начала найдем периметр треугольника \(АВС\). Из условия задачи известно, что \(АВ = АС = 15\) и \(ВС = 18\). Периметр можно найти, сложив все стороны:

\[ P = АВ + АС + ВС \]

\[ P = 15 + 15 + 18 \]

\[ P = 48 \]

Теперь найдем длину бокового ребра \(l\). Из условия задачи известно, что ребро \(АD\) перпендикулярно плоскости основания и равно 5. Так как ребро \(АD\) является высотой пирамиды, оно также является высотой треугольника \(АВС\).

Теперь применим теорему Пифагора к треугольнику \(АВС\) чтобы найти длину бокового ребра \(l\):

\[ l = \sqrt{ВС^2 - АD^2} \]

\[ l = \sqrt{18^2 - 5^2} \]

\[ l = \sqrt{324 - 25} \]

\[ l = \sqrt{299} \]

Теперь мы можем использовать найденные значения для вычисления площади боковой поверхности пирамиды:

\[ S = \frac{1}{2} \times 48 \times \sqrt{299} \]

Ответ: Площадь боковой поверхности пирамиды \(DАВС\) равна \(24\sqrt{299}\).

2. Для начала, нам понадобится формула для вычисления длины стороны основания правильной шестиугольной пирамиды. Формула выглядит следующим образом:

\[ a = \frac{2}{\sqrt{3}} h \]

где \( a \) - длина стороны основания, \( h \) - высота пирамиды.

Из условия задачи известно, что \( h = 3 \), а боковое ребро \( l = 5 \). Мы не можем напрямую найти длину стороны основания по этим значениям. Однако, мы можем воспользоваться другой формулой, которая связывает длину стороны основания и боковое ребро пирамиды с помощью радиуса вписанной окружности:

\[ r = \frac{l}{2\sqrt{3}} \]

где \( r \) - радиус вписанной окружности, \( l \) - боковое ребро.

Найдем радиус вписанной окружности, зная боковое ребро \( l = 5 \):

\[ r = \frac{5}{2\sqrt{3}} \]

Теперь, используя найденное значение радиуса вписанной окружности, можем найти длину стороны основания:

\[ a = 2r\sqrt{3} \]

\[ a = 2 \cdot \frac{5}{2\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} \]

\[ a = 5 \]

Ответ: Длина стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равна 5.

3. Для решения этой задачи нам понадобится формула для вычисления длины бокового ребра пирамиды. Формула выглядит следующим образом:

\[ l = \frac{\sqrt{h^2 + s^2}}{\sqrt{2}} \]

где \( l \) - длина бокового ребра пирамиды, \( h \) - высота, \( s \) - длина стороны основания.

Из условия задачи известно, что длина основания \( s = ВС = 10 \), а высота \( h = 12 \). По заданию, все боковые ребра равны. Теперь подставим эти значения в формулу, чтобы найти длину бокового ребра пирамиды:

\[ l = \frac{\sqrt{12^2 + 10^2}}{\sqrt{2}} \]

\[ l = \frac{\sqrt{144 + 100}}{\sqrt{2}} \]

\[ l = \frac{\sqrt{244}}{\sqrt{2}} \]

\[ l = \sqrt{\frac{244}{2}} \]

\[ l = \sqrt{122} \]

Ответ: Длина бокового ребра пирамиды \( DАВС \) равна \( \sqrt{122} \).