Найдите площадь боковой поверхности пирамиды FABC, если известно, что пирамида FABC является проектором пирамиды ABC

  • 62
Найдите площадь боковой поверхности пирамиды FABC, если известно, что пирамида FABC является проектором пирамиды ABC, а FQ в фигуре ABC является подобным треугольником на основании A1B1C1 и отношение FQ к FO составляет 1:2. Площадь боковой поверхности FABCD равна 32. Чему равна площадь боковой поверхности FA1B1C1?
Янгол
34
Чтобы решить данную задачу, нужно применить свойства подобных треугольников и отношение их площадей.

Дано, что площадь боковой поверхности пирамиды FABCD равна 32. Обозначим через x площадь боковой поверхности пирамиды FA1B1C1.

Так как пирамида FABCD является проектором пирамиды ABC, то отношение площадей боковых поверхностей этих пирамид равно отношению высот проектора к высоте исходной пирамиды, возведенных в квадрат.

Таким образом, получаем следующее равенство:

Sбок FABCDSбок ABC=(Hпр FABCDHABC)2

Подставим известные значения:

32Sбок ABC=(Hпр FABCDHABC)2

Теперь рассмотрим подобные треугольники на основании A1B1C1 и FQ. Так как эти треугольники подобны, отношение площадей их боковых сторон равно квадрату отношения соответствующих сторон:

Sбок FA1B1C1Sбок FQ=(A1B1FQ)2

Также нам известно, что отношение FQ к FO составляет 1:2. Тогда A1B1 равно половине длины базы FABCD, то есть A1B1 равно 12AB.

Перепишем равенство, заменяя A1B1:

Sбок FA1B1C1Sбок FQ=(12ABFQ)2

Известно, что отношение FQ к FO составляет 1:2, поэтому FQ равно двум третьим длины FO:

FQ = 23 \cdot FO.

Подставим эту информацию в равенство:

Sбок FA1B1C1Sбок FQ=(12AB23FO)2

Также помним, что отношение площадей боковых поверхностей пирамид FABCD и FA1B1C1 равно квадрату отношения высот проектора и изначальной пирамиды:

Sбок FA1B1C1Sбок FABCD=(Hпр FA1B1C1HFABCD)2

Подставим все значения:

Sбок FA1B1C1Sбок FQ=(12AB23FO)2
Sбок FA1B1C1x=(12AB23FO)2
x32=(12AB23FO)2

Теперь объединим два равенства в одно:

Sбок FA1B1C1x=x32

Решим пропорцию:

xx=32x
x2=32x
x232x=0

Это квадратное уравнение. Решим его:

x(x32)=0

Таким образом, у нас есть два возможных значения площади боковой поверхности FA1B1C1: x = 0 и x = 32.

Однако, если x = 0, то у нас получается пирамида без боковой поверхности, что неразумно для обсуждаемой задачи.

Значит, исходя из условий, площадь боковой поверхности пирамиды FA1B1C1 равна 32.

Таким образом, ответ: площадь боковой поверхности FA1B1C1 равна 32.