Какова длина отрезка KL на рисунке? В ответе представьте это значение, разделенное на корень

Поющий_Долгоног

45

Для решения этой задачи нам понадобятся некоторые свойства треугольников и прямоугольников. Рассмотрим рисунок и построим вспомогательные линии.

\[KL \perp AK, LM \perp AK, AL \perp KE\]

Отрезок KL является высотой треугольника AKL, а отрезок LM -- высотой треугольника LKM. Так как высоты пересекаются в точке K, а треугольники AKL и LKM являются подобными по принципу "подобные треугольники задаются соответствующими радиусами".

Мы можем записать следующее соотношение между сторонами этих треугольников:

\[\frac{{AK}}{{LK}} = \frac{{LK}}{{MK}}\]

Так как LM = MK, мы получим:

\[\frac{{AK}}{{LK}} = \frac{{LK}}{{LM}}\]

Поменяем местами числитель и знаменатель:

\[\frac{{LK}}{{AK}} = \frac{{LM}}{{LK}}\]

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\[\left(\frac{{LK}}{{AK}}\right)^2 = \left(\frac{{LM}}{{LK}}\right)^2\]

Теперь мы можем заменить длину отрезка KL на \(x\) и длину отрезка LM на \(y\):

\[\left(\frac{{x}}{{AK}}\right)^2 = \left(\frac{{y}}{{x}}\right)^2\]

Упростим это уравнение:

\[\frac{{x^2}}{{AK^2}} = \frac{{y^2}}{{x^2}}\]

Перемножим обе части на \(x^2\), чтобы избавиться от знаменателя:

\[x^4 = AK^2 \cdot y^2\]

Теперь найдем отношение AK к x. Для этого воспользуемся прямоугольником ABKD:

\[AB \cdot KD = AK \cdot BD\]

У нас есть данные из условия, что AB = 18 и BD = 4:

\[18 \cdot KD = AK \cdot 4\]

Так как KD = x, мы можем записать:

\[18x = AK \cdot 4\]

Теперь выразим AK через x:

\[AK = \frac{{18x}}{{4}}\]

Подставим значение AK^2 в уравнение выше:

\[x^4 = \left(\frac{{18x}}{{4}}\right)^2 \cdot y^2\]

Упростим это уравнение еще раз:

\[x^4 = \frac{{81x^2}}{{4}} \cdot y^2\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно y:

\[y^2 = \frac{{4x^4}}{{81x^2}}\]

Упростим правую часть уравнения:

\[y^2 = \frac{{4x^2}}{{81}}\]

Для нахождения длины отрезка KL мы должны вычислить значение некоторого выражения и разделить его на корень:

\[\frac{{x}}{{\sqrt{\frac{{4x^2}}{{81}}}}}\]

Упростим это выражение:

\[\frac{{x}}{{\frac{{2x}}{{9}}}} = \frac{{9x}}{{2x}} = \frac{{9}}{{2}}\]

Таким образом, длина отрезка KL равна \(\frac{{9}}{{2}}\), что и требовалось найти.