Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной усеченной пирамиды, если длина ее ребра составляет

Snezhinka

19

Для решения данной задачи сначала необходимо понять, что такое треугольная усеченная пирамида. Усеченная пирамида - это геометрическое тело, имеющее два параллельных основания, связанные равнобедренными треугольными гранями. Боковая поверхность пирамиды образована боковыми гранями, которые в данном случае являются равнобедренными треугольниками.

Для выполнения задачи нам дано значение длины ребра пирамиды. Обозначим это значение как \(a\).

Теперь нам необходимо вычислить площадь боковой поверхности. Для этого нужно знать длину бокового ребра и высоту боковой грани пирамиды.

Высота боковой грани пирамиды можно найти с использованием теоремы Пифагора. Рассмотрим треугольник, образованный боковой гранью пирамиды, ребром \(a\) и высотой \(h_1\) (см. рисунок).

\[
\begin{array}{|c|}
\hline
\\
\Delta ABC \\
\\
\hline
\end{array}
\]

Известно, что этот треугольник является прямоугольным, так как его основание - основание пирамиды, а из предположения о правильной треугольной усеченной пирамиде, его боковая сторона равна боковой стороне основания. Отсюда можно записать следующее:

\[
\begin{align*}
AB &= a \\
BC &= \frac{a}{2} \\
AC &= h_1
\end{align*}
\]

Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, поэтому мы можем записать следующее уравнение:

\[
AB^2 + BC^2 = AC^2
\]

Подставляя известные значения, получаем:

\[
a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = h_1^2
\]

Решая это уравнение, мы найдем значение высоты \(h_1\).

Теперь, чтобы найти площадь боковой поверхности, нам нужно умножить периметр основания на длину высоты боковой грани. Поскольку основание - это равнобедренный треугольник, периметр можно найти, умножив длину одной стороны основания на 3. Так как одна сторона основания равна \(a\), периметр \(P\) будет равен \(3a\).

Таким образом, площадь боковой поверхности \(S\) можно выразить следующим образом:

\[
S = P \cdot h_1 = 3a \cdot h_1
\]

После нахождения высоты \(h_1\) и подстановки значения ребра \(a\), можно вычислить площадь боковой поверхности усеченной пирамиды.