Какие координаты имеет точка на оси ординат, которая находится на равном расстоянии от точек М (-1;2) и N (5;4)?

Ledyanoy_Volk_5588

43

Чтобы определить координаты точки на оси ординат, которая находится на равном расстоянии от точек М (-1;2) и N (5;4), мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками на плоскости. Эта формула выглядит следующим образом:

\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]

где d - расстояние между двумя точками, (x1, y1) и (x2, y2) - координаты этих точек.

В данной задаче точка на оси ординат будет иметь координаты (0, y), где y - неизвестное значение, которое мы и должны найти.

Подставим координаты М и N в формулу расстояния:

\[d_1 = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]
\[d_1 = \sqrt{{(5 - (-1))^2 + (4 - 2)^2}}\]
\[d_1 = \sqrt{{6^2 + 2^2}}\]
\[d_1 = \sqrt{{36 + 4}}\]
\[d_1 = \sqrt{{40}}\]
\[d_1 = 2\sqrt{{10}}\]

\[d_2 = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]
\[d_2 = \sqrt{{(5 - 0)^2 + (4 - y)^2}}\]
\[d_2 = \sqrt{{5^2 + (4 - y)^2}}\]
\[d_2 = \sqrt{{25 + (4 - y)^2}}\]
\[d_2 = \sqrt{{29 + 8y - y^2}}\]

Так как точка находится на равном расстоянии от М и N, то \(d_1 = d_2\). Поэтому, мы можем приравнять данные формулы:

\[2\sqrt{{10}} = \sqrt{{29 + 8y - y^2}}\]

Чтобы решить эту квадратную уравнение, давайте возвести обе части уравнения в квадрат:

\[4(10) = 29 + 8y - y^2\]
\[40 = 29 + 8y - y^2\]
\[0 = 29 + 8y - y^2 - 40\]
\[0 = 8y - y^2 - 11\]
\[y^2 - 8y + 11 = 0\]

Теперь давайте решим это квадратное уравнение с помощью квадратного трехчлена. Мы можем использовать формулу дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]

В нашем случае a = 1, b = -8, c = 11. Подставим данные значения:

\[D = (-8)^2 - 4(1)(11)\]
\[D = 64 - 44\]
\[D = 20\]

Так как дискриминант D положительный, у нас будет два решения для y. Используем формулы для нахождение корней квадратного уравнения:

\[y = \frac{{-b \pm \sqrt{{D}}}}{{2a}}\]

Подставим значения:

\[y = \frac{{-(-8) \pm \sqrt{{20}}}}{{2(1)}}\]
\[y = \frac{{8 \pm \sqrt{{20}}}}{{2}}\]
\[y = \frac{{8 \pm 2\sqrt{{5}}}}{{2}}\]
\[y = 4 \pm \sqrt{{5}}\]

Таким образом, у нас есть два решения для y: \(y_1 = 4 + \sqrt{{5}}\) и \(y_2 = 4 - \sqrt{{5}}\).

Следовательно, точка на оси ординат, которая находится на равном расстоянии от точек М (-1;2) и N (5;4), имеет координаты (0, \(y_1\)) и (0, \(y_2\)), где \(y_1 = 4 + \sqrt{{5}}\) и \(y_2 = 4 - \sqrt{{5}}\).