Найдите площадь боковой поверхности треугольной усеченной пирамиды с правильными основаниями, длины сторон которых

Elf

9

Для начала рассчитаем площадь боковой поверхности треугольной усеченной пирамиды с правильными основаниями, длины сторон которых равны 6 и 3 см.

Площадь боковой поверхности треугольной усеченной пирамиды вычисляется по формуле:

\[ S_{bp} = \frac{1}{2} \cdot p \cdot l \]

Где \( S_{bp} \) - площадь боковой поверхности, \( p \) - периметр верхнего основания пирамиды и \( l \) - апофема пирамиды.

Чтобы рассчитать апофему пирамиды, нам понадобится треугольник, образованный высотой треугольной усеченной пирамиды, апофемой и радиусом основания. Из этого треугольника мы можем найти апофему, используя теорему Пифагора.

Так как для треугольной усеченной пирамиды дано только значение высоты на основание, мы предполагаем, что это высота, опущенная из вершины пирамиды к основанию. Давайте обозначим данную высоту как \( h \).

Сначала найдем радиус основания. Так как основание - правильный треугольник, все его стороны равны. Поэтому радиус основания будет равен половине одной из сторон.

\[ r = \frac{l}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ см} \]

Теперь мы можем приступить к вычислению апофемы пирамиды.

Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника, образованного апофемой \( l \), радиусом основания \( r \) и высотой \( h \):

\[ l^2 = r^2 + h^2 \]

Подставим известные значения:

\[ l^2 = 3^2 + \left(\frac{\sqrt{13}}{2}\right)^2 \]

\[ l^2 = 9 + \frac{13}{4} \]

\[ l^2 = \frac{36 + 13}{4} \]

\[ l^2 = \frac{49}{4} \]

\[ l = \frac{\sqrt{49}}{2} = \frac{7}{2} \text{ см} \]

Теперь, когда у нас есть значение апофемы \( l \), можем рассчитать площадь боковой поверхности исходной треугольной усеченной пирамиды:

\[ S_{bp} = \frac{1}{2} \cdot p \cdot l \]

Периметр верхнего основания пирамиды равен сумме длин сторон \( p = 6 + 3 + \frac{7}{2} = \frac{19}{2} \) см.

Подставляем известные значения:

\[ S_{bp} = \frac{1}{2} \cdot \frac{19}{2} \cdot \frac{7}{2} = \frac{19 \cdot 7}{2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{133}{8} = 16.625 \text{ см}^2 \]

Таким образом, площадь боковой поверхности треугольной усеченной пирамиды с заданными параметрами равна \( 16.625 \) квадратных сантиметров.