Найдите площадь кругового сектора с радиусом 12, где его дуга имеет угловую меру 135 градусов

Pugayuschiy_Lis_5957

47

Конечно! Чтобы найти площадь кругового сектора, нам сначала нужно найти длину дуги сектора. Формула для вычисления длины дуги сектора следующая:

\[Длина\ дуги = \frac{2\pi R \cdot мера\ угла}{360}\]

где \(R\) - радиус круга, а \(мера\ угла\) - угловая мера в градусах.

В данной задаче, радиус \(R = 12\) и угловая мера равна \(135\) градусам, поэтому можем подставить значения в формулу:

\[Длина\ дуги = \frac{2\pi \cdot 12 \cdot 135}{360}\]

Для упрощения выражения, можем сократить числители на число \(9\) и получим:

\[Длина\ дуги = \frac{2\pi \cdot 4 \cdot 135}{9}\]

Теперь, чтобы найти площадь кругового сектора, нам нужно найти отношение найденной длины дуги к длине окружности и умножить это значение на площадь всего круга. Формула для вычисления площади кругового сектора:

\[Площадь\ сектора = \frac{Длина\ дуги \cdot S_{круга}}{2 \pi R}\]

где \(S_{круга}\) - площадь всего круга.

Площадь всего круга вычисляется по формуле: \(S_{круга} = \pi R^2\)

Давайте подставим известные значения в формулу для площади кругового сектора:

\[Площадь\ сектора = \frac{\frac{2\pi \cdot 4 \cdot 135}{9} \cdot \pi \cdot 12^2}{2\pi \cdot 12}\]

Теперь можем сократить и упростить выражение:

\[Площадь\ сектора = \frac{2 \cdot 4 \cdot 135 \cdot 12}{9 \cdot 12} = \frac{1080}{9} = 120\]

Таким образом, площадь кругового сектора с радиусом 12 и угловой мерой 135 градусов равна 120 квадратным единицам.