Являются ли следующие числа кратными 19: а + 19, 2а + 32, 6а – 38, 5а *17? Объясните свой ответ

Карамелька

51

Давайте разберёмся с каждым числом по очереди.

1. a + 19: Чтобы определить, является ли это число кратным 19, нужно проверить, делится ли оно на 19 без остатка. Если остаток от деления равен нулю, то число является кратным 19. Давайте проверим:

a + 19 \(\bmod\) 19 = 0

Используя свойства модуля (остатка от деления), мы можем записать это как:

(a \(\bmod\) 19 + 19 \(\bmod\) 19) \(\bmod\) 19 = 0

Так как 19 \(\bmod\) 19 = 0 (любое число делится на само себя без остатка), упростим это выражение:

a \(\bmod\) 19 = 0

Если остаток от деления переменной a на 19 равен нулю, то a + 19 является кратным 19.

2. 2a + 32: Аналогично проверим, делится ли это число на 19 без остатка:

(2a + 32) \(\bmod\) 19 = 0

Теперь мы можем упростить это выражение:

2a \(\bmod\) 19 + 32 \(\bmod\) 19 = 0

32 \(\bmod\) 19 = 13, поэтому упростим ещё:

2a \(\bmod\) 19 + 13 = 0

Теперь проверим значения, при которых это равенство выполняется. Учтём, что возможное значение переменной a должно быть кратным 19, чтобы обнулить первое слагаемое. Поэтому, если мы подставим a = 19, получим:

2 * 19 \(\bmod\) 19 + 13 = 38 \(\bmod\) 19 + 13 = 38 + 13 = 51 \(\bmod\) 19 = 13

Таким образом, 2a + 32 не является кратным 19.

3. 6a - 38: Точно так же проверим, делится ли это число на 19 без остатка:

(6a - 38) \(\bmod\) 19 = 0

Упростив это выражение, получим:

6a \(\bmod\) 19 - 38 \(\bmod\) 19 = 0

38 \(\bmod\) 19 = 0, так что:

6a \(\bmod\) 19 - 0 = 0

6a \(\bmod\) 19 = 0

Это означает, что 6a - 38 является кратным 19, если a кратно 19. Если a не кратно 19, то это число не будет кратным 19.

4. 5a * 17: Для этого числа также проверим, делится ли оно на 19 без остатка:

(5a * 17) \(\bmod\) 19 = 0

Упростим выражение:

85a \(\bmod\) 19 = 0

Теперь возьмём значения a, кратные 19, и проверим их:

a = 19:

85 * 19 \(\bmod\) 19 = 1615 \(\bmod\) 19 = 17

Как видим, 5a * 17 не делится на 19 без остатка, поэтому не является кратным 19.

Итак, только число 6a - 38 является кратным 19, если a кратно 19. Числа a + 19, 2a + 32 и 5a * 17 не являются кратными 19.