Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой длина меньшего основания равна 8 см, длина меньшей боковой стороны

Олег

40

Чтобы найти площадь прямоугольной трапеции, мы можем использовать следующую формулу:

\[S = \frac{{(a + b) \cdot h}}{2},\]

где \(S\) - площадь трапеции, \(a\) и \(b\) - длины оснований, а \(h\) - высота трапеции.

В данной задаче, меньшее основание равно 8 см, а меньшая боковая сторона равна 12 см. Также известно, что большая боковая сторона образует угол в 45 градусов с основанием.

Первым шагом нужно найти высоту трапеции. Для этого, мы можем воспользоваться заготовкой трапеции и нарисовать прямую, которая будет перпендикулярна к обоим основаниям. Эта прямая будет выступать в качестве высоты трапеции.

Далее, мы можем разделить получившуюся фигуру на два прямоугольных треугольника. А затем, воспользоваться тригонометрическим соотношением \(\sin(45^\circ) = \frac{{\frac{h}{2}}}{{12}}\), чтобы найти значение высоты.

Выполняя вычисления, получаем:

\[\sin(45^\circ) = \frac{{\frac{h}{2}}}{{12}}.\]

Умножая обе части уравнения на 12, получаем:

\[12 \cdot \sin(45^\circ) = \frac{h}{2}.\]

Далее, умножаем обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[24 \cdot \sin(45^\circ) = h.\]

Теперь мы можем найти значение \(h\) подставив \(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\):

\[h = 24 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}.\]

Далее, зная меньшее основание \(a = 8\) см, большую основу \(b = 12\) см и высоту \(h\), мы можем подставить эти значения в формулу для площади трапеции:

\[S = \frac{{(a + b) \cdot h}}{2}.\]

Подставляя значения и проводя вычисления, мы получаем:

\[S = \frac{{(8 + 12) \cdot 24 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}}{2}.\]

Сокращая отдельные элементы, получим:

\[S = \frac{{20 \cdot 24 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}}{2}.\]

Далее, упрощая выражение в числителе и в знаменателе, получим:

\[S = \frac{{480 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}}{2}.\]

Вычисляя это выражение, мы получаем:

\[S = \frac{{480 \cdot \sqrt{2}}}{4}.\]

Наконец, сокращая числитель, получим окончательный результат:

\[S = 120 \cdot \sqrt{2}.\]

Таким образом, площадь прямоугольной трапеции равна \(120 \cdot \sqrt{2}\) квадратных сантиметров.