Найдите площадь равностороннего треугольника с высотой, равной 10, и разделите ее на корень

Zvonkiy_Elf

59

Решение:

Чтобы найти площадь равностороннего треугольника, нам потребуются его высота и длина одной из его сторон. В данной задаче известна высота, равная 10. Но нам нужно найти длину стороны треугольника, чтобы рассчитать его площадь.

Мы знаем, что равносторонний треугольник имеет все стороны одинаковой длины. Обозначим эту длину через \( s \).

Используя свойство равностороннего треугольника, мы можем нарисовать высоту, разделяя треугольник на два равнобедренных треугольника. Таким образом, мы получаем два прямоугольных треугольника с высотой 10 и основанием \( s/2 \).

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины стороны треугольника \( s \). Вспомним, что теорема Пифагора утверждает, что для прямоугольного треугольника гипотенуза в квадрате равна сумме квадратов двух катетов:

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

где \( c \) - гипотенуза (сторона треугольника), а \( a \) и \( b \) - катеты (половины основания треугольника и высота).

Применяя теорему Пифагора к одному из прямоугольных треугольников, мы получаем:

\[ \left(\frac{s}{2}\right)^2 + 10^2 = s^2 \]

Решая это уравнение, мы найдем значение \( s \) - длину стороны равностороннего треугольника.

\[\frac{s^2}{4} + 100 = s^2\]
\[s^2 + 400 = 4s^2\]
\[3s^2 = 400\]
\[s^2 = \frac{400}{3}\]

Теперь найдем площадь равностороннего треугольника. Площадь равностороннего треугольника можно выразить через формулу:

\[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot s^2 \]

Подставив значение \( s^2 = \frac{400}{3} \) в формулу, получаем:

\[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{400}{3} = \frac{200\sqrt{3}}{3} \]

Наконец, для того чтобы разделить площадь на корень, нам нужно просто разделить полученное значение на корень из него:

\[ \frac{\frac{200\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{\frac{200\sqrt{3}}{3}}} = \frac{\frac{200\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{3}} = \frac{200}{3} \]

Таким образом, площадь равностороннего треугольника с высотой 10, разделенная на корень, равна \( \frac{200}{3} \).