Какой угол образуют векторы m и m-n, если длина вектора m равна 3, длина вектора n равна 2, а угол между ними

Артемовна

51

Давайте решим данную задачу шаг за шагом.

У нас есть два вектора: вектор m и вектор m-n. Вектор m имеет длину 3, а вектор n имеет длину 2. Угол между ними составляет 120 градусов.

Чтобы найти угол между векторами m и m-n, нам понадобятся знания о косинусном законе.

Косинус угла между двумя векторами можно выразить следующим образом:

\[\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{m} \cdot \mathbf{(m-n)}}}{{\|\mathbf{m}\| \cdot \|\mathbf{m-n}\|}}\]

где \(\mathbf{m} \cdot \mathbf{(m-n)}\) - скалярное произведение векторов m и (m-n), и \(\|\mathbf{m}\|\) и \(\|\mathbf{m-n}\|\) - длины векторов m и (m-n) соответственно.

Давайте посчитаем значение выражения \(\mathbf{m} \cdot \mathbf{(m-n)}\):

\(\mathbf{m} \cdot \mathbf{(m-n)} = \|\mathbf{m}\| \cdot \|\mathbf{m-n}\| \cdot \cos(\theta)\)

Подставим известные значения:

\(\mathbf{m} \cdot \mathbf{(m-n)} = 3 \cdot 2 \cdot \cos(120^\circ)\)

Существует специальное значение косинуса угла \(120^\circ\), которое можно выразить в численном виде:

\(\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}\)

Теперь можем продолжить вычисления:

\(\mathbf{m} \cdot \mathbf{(m-n)} = 3 \cdot 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\)

\(\mathbf{m} \cdot \mathbf{(m-n)} = -3\)

Теперь мы знаем, что скалярное произведение векторов m и (m-n) равно \(-3\).

Теперь, когда у нас есть все необходимые значения, мы можем использовать косинусный закон для нахождения угла \(\theta\):

\[\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{m} \cdot \mathbf{(m-n)}}}{{\|\mathbf{m}\| \cdot \|\mathbf{m-n}\|}}\]

Подставляем известные значения:

\[\cos(\theta) = \frac{{-3}}{{3 \cdot 2}}\]

Упрощаем выражение:

\[\cos(\theta) = -\frac{1}{2}\]

Теперь найдем значение угла \(\theta\). Для этого воспользуемся обратной функцией косинуса, или арккосинусом:

\(\theta = \arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\)

Возможные значения угла \(\theta\) находятся в диапазоне от \(0^\circ\) до \(180^\circ\). Известно, что \(\cos(\theta) = -\frac{1}{2}\) при угле \(\theta = 120^\circ\). Таким образом, ответ на задачу: угол, образуемый векторами м и m-n, равен \(120^\circ\).

Надеюсь, этот пошаговый ответ был понятен для вас. Если у вас остались какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать.