Найдите площадь сектора, площадь треугольника EOF и площадь сегмента в случае, когда радиус круга составляет 3

Сумасшедший_Рейнджер

41

Хорошо, рассмотрим задачу.

1. Найдем площадь сектора круга. Площадь сектора можно найти по формуле:

\[S_{\text{сектора}} = \frac{{\text{центральный угол}}}{{360^\circ}} \times \pi r^2\]

где \(\pi\) - это число "пи" (приближенное значение равно 3.14), \(r\) - радиус круга.

В задаче дано, что радиус круга составляет 3 см, а центральный угол равен 150°. Подставим значения в формулу:

\[S_{\text{сектора}} = \frac{{150^\circ}}{{360^\circ}} \times 3.14 \cdot 3^2\]

Рассчитаем:

\[S_{\text{сектора}} = \frac{{150}}{{360}} \times 3.14 \cdot 9\]

\[S_{\text{сектора}} = \frac{{150}}{{360}} \times 28.26\]

Последовательно решим данное уравнение:

\[S_{\text{сектора}} = 0.4167 \times 28.26\]

\[S_{\text{сектора}} \approx 11.775 \, \text{см}^2\]

Таким образом, площадь сектора равна около 11.775 квадратных сантиметров.

2. Теперь найдем площадь треугольника EOF. Мы знаем, что треугольник EOF - это треугольник, образованный радиусом и хордой.

Площадь треугольника можно найти по формуле герона (фишера):

\[S_{\Delta EOF} = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\]

где \(\displaystyle p = \frac{{a + b + c}}{2}\) - полупериметр треугольника, а \(a\), \(b\), \(c\) - длины сторон треугольника.

В нашем случае, у нас есть одна из сторон треугольника - это радиус \(r\), и угол между этой стороной и хордой равен половине центрального угла - \(75^\circ\).

Зная радиус и одну из сторон, можно найти оставшиеся две стороны треугольника, применив тригонометрические соотношения. Давайте обозначим стороны треугольника следующим образом: \(a = r\), \(b = r\), \(c\) - длина хорды.

Используя формулу косинусов, найдем длину хорды \(c\):

\[\displaystyle c = 2r \sin \left( \frac{{75^\circ}}{2} \right)\]

Рассчитаем:

\[\displaystyle c = 2 \cdot 3 \cdot \sin \left( \frac{{75^\circ}}{2} \right)\]

Тут мы применяем вторую формулу половинного угла для синуса. Расчитаем:

\[\displaystyle c = 2 \cdot 3 \cdot \sin \left( \frac{{75^\circ}}{2} \right)\]

\[\displaystyle c = 6 \cdot \sin \left( \frac{{75^\circ}}{2} \right)\]

Теперь, когда мы знаем все стороны треугольника, можем рассчитать полупериметр \(p\) по формуле:

\[\displaystyle p = \frac{{a + b + c}}{2}\]

Подставляем значения:

\[\displaystyle p = \frac{{3 + 3 + c}}{2}\]

\[\displaystyle p = \frac{{6 + c}}{2}\]

\[\displaystyle p = 3 + \frac{{c}}{2}\]

\[S_{\Delta EOF} \,=\sqrt{ p(p - 3)(p - 3)(p - c) }\,=\sqrt{ \left( 3 + \frac{{c}}{2} \right)\cdot\left(3 - \frac{{c}}{2}\right)^2} \,=\sqrt{ \left( 3 + \frac{{c}}{2} \right)\cdot\left(3 - \frac{{c}}{2}\right)^2}\]

Рассчитаем:

\[S_{\Delta EOF} \,=\sqrt{ \left( 3 + \frac{{c}}{2} \right)\cdot\left(3 - \frac{{c}}{2}\right)^2}\]

\[S_{\Delta EOF} \approx \sqrt{ \left( 3 + \frac{{6 \cdot \sin \left( \frac{{75^\circ}}{2} \right)}}{2} \right)\cdot\left(3 - \frac{{6 \cdot \sin \left( \frac{{75^\circ}}{2} \right)}}{2}\right)^2}\]

\[S_{\Delta EOF} \approx \sqrt{ \left( 3 + \frac{{6 \sin \left( \frac{{75^\circ}}{2} \right)}}{2} \right)\cdot\left(3 - \frac{{6 \sin \left( \frac{{75^\circ}}{2} \right)}}{2}\right)^2}\]


Рассчитав, получим:

\[S_{\Delta EOF} \approx 2.253 \, \text{см}^2\]

Таким образом, площадь треугольника составляет около 2.253 квадратных сантиметров.

3. Осталось найти площадь сегмента круга. Площадь сегмента можно найти вычитанием площади треугольника EOF из площади сектора:

\[S_{\text{сегмента}} = S_{\text{сектора}} - S_{\Delta EOF}\]

Подставляя значения:

\[S_{\text{сегмента}} = 11.775 - 2.253\]

\[S_{\text{сегмента}} \approx 9.522 \, \text{см}^2\]

Таким образом, площадь сегмента равна около 9.522 квадратных сантиметра.

Задача решена с детальным объяснением каждого шага. Если у вас есть другие вопросы или нужна дополнительная помощь, пожалуйста, обратитесь!