Найдите площадь треугольника, если в прямоугольнике АВСД периметр равен 14 и длина стороны АВ равна

Полина

12

Давайте начнем с того, что вспомним формулу для нахождения площади треугольника. Площадь треугольника можно найти, умножив половину произведения длин сторон треугольника на синус угла между этими сторонами. Формула выглядит следующим образом:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC)\]

Так как в задаче дан прямоугольник АВСД, мы можем увидеть, что сторона АВ является одной из сторон треугольника. Давайте обозначим сторону ВС как х. Таким образом, сторона ВС будет второй стороной треугольника.

Мы также знаем, что периметр прямоугольника равен 14. Периметр прямоугольника равен сумме длин всех его сторон. В нашем случае, периметр равен

\[14 = AB + BC + CD + DA\]

У нас есть две известные стороны: AB (длина которой равна 4) и BC (длина которой равна х). Мы можем использовать эту информацию, чтобы составить уравнение и выразить х:

\[14 = 4 + x + CD + DA\]

Так как прямоугольник, каждая сторона противоположна другой стороне равны, так что сторона CD равна 4, а сторона DA равна х. Мы можем заменить эти значения в уравнении:

\[14 = 4 + x + 4 + x\]

Теперь мы можем решить уравнение, чтобы найти значение х:

\[14 = 8 + 2x\]
\[2x = 14 - 8\]
\[2x = 6\]
\[x = 3\]

Таким образом, сторона ВС (или х) равна 3. Теперь у нас есть все известные стороны треугольника: AB = 4 и BC = 3.

Давайте рассчитаем площадь треугольника, используя формулу:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC)\]

Остается найти только значение синуса угла ABC. Чтобы найти значение синуса этого угла, нам понадобится знание треугольник САВ, поскольку угол ABC - это тот же угол, что и угол САВ (так как они противолежащие углы при пересечении прямых СА и ВС).

У нас есть сторона СА, которая равна 4 в прямоугольнике. Мы также можем найти длину стороны ВС с помощью ранее найденного значения x (3). Теперь у нас есть все известные стороны треугольника САВ: СА = 4, АВ = 3 и ВС = 3.

Мы можем использовать те же формулы, чтобы найти площадь треугольника САВ:

\[S_{\triangle SAV} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot AV \cdot \sin(\angle SAV)\]

Поскольку стороны СА и ВС равны, треугольник САВ - равнобедренный треугольник. Это означает, что углы при основании СА и ВС также равны. Таким образом, угол SAV равен углу CАВ.

Теперь мы можем подставить значения сторон и углов в формулу:

\[S_{\triangle SAV} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \cdot \sin(\angle CАВ)\]

Вычислим значение синуса угла САВ. Для этого нам нужно использовать таблицу значений синуса или калькулятор (если у вас есть).

\[S_{\triangle SAV} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \cdot \sin(60^\circ)\]

Найдем значение синуса 60 градусов: \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

\[S_{\triangle SAV} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\]

Таким образом, площадь треугольника САВ (и треугольника, вписанного в прямоугольник АВСД) равна \(6\sqrt{3}\) квадратных единиц.