Найдите площадь треугольника, образованного пересечением плоскости BDK с боковым ребром куба ABCDA1B1C1D1. Ребро куба

Арсений_6532

68

Для начала, посмотрим на данные и изображение проблемы.

У нас есть куб ABCDA1B1C1D1 с ребром длиной 4 см. Плоскость BDK проходит через диагональ BD и образует треугольник с плоскостью основания. Угол между плоскостью BDK и плоскостью основания равен 45°.

[Вставить изображение куба ABCDA1B1C1D1 с плоскостью BDK]

Давайте найдем площадь этого треугольника.

Шаг 1: Найдите высоту треугольника BDK

Первым делом, нужно найти высоту треугольника BDK. Зная, что плоскость BDK проходит через диагональ BD, мы можем использовать свойство этой диагонали куба. Диагональ BD делит грани куба на два равных прямоугольных треугольника. Так как у нас куб со стороной 4 см, по теореме Пифагора, длина диагонали BD равна \(\sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\) см.

[Вставить изображение двух прямоугольных треугольников, образованных диагональю BD]

Теперь мы знаем высоту треугольника BDK, она равна половине диагонали BD, а это \(2\sqrt{2}\) см.

Шаг 2: Найдите длину основания треугольника BDK

Для того чтобы найти длину основания треугольника BDK, нам нужно знать длину стороны основания куба. Из условия задачи, ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 4 см. Так как плоскость BDK проходит через диагональ BD, их пересечение образует равнобедренный треугольник BDK. Значит, длина стороны BK такая же, как длина стороны основания куба, то есть 4 см.

Шаг 3: Найдите площадь треугольника BDK

Теперь, имея значения основания и высоты треугольника BDK, мы можем найти его площадь, используя формулу для площади треугольника:

\[Площадь = \frac{1}{2} \times основание \times высота\]

В нашем случае, площадь треугольника BDK будет:

\[Площадь = \frac{1}{2} \times 4 \times 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \space \text{квадратных сантиметра}\]

Итак, площадь треугольника BDK, образованного пересечением плоскости BDK с боковым ребром куба ABCDA1B1C1D1, составляет \(4\sqrt{2}\) квадратных сантиметра.