Найдите площади красного и незакрашенного сегментов, если радиус круга составляет 6 дм, а меньший центральный угол

Звездный_Пыл

25

Хорошо, давайте решим эту задачу.

Для начала нам понадобится формула для расчета площади сегмента круга. Формула имеет вид:

\[S = \frac{r^2}{2}( \theta - \sin(\theta))\]

где \(r\) - радиус круга, \(\theta\) - центральный угол сегмента в радианах.

В нашем случае, радиус круга составляет 6 дм, то есть \(r = 6\) дм. Меньший центральный угол равен 90°, что соответствует \(\frac{\pi}{2}\) радиан.

Теперь подставим значения в формулу и рассчитаем площадь красного сегмента:

\[S_{\text{красного}} = \frac{6^2}{2}( \frac{\pi}{2} - \sin(\frac{\pi}{2}))\]

Вычислим сначала \(\sin(\frac{\pi}{2})\). Значение синуса угла 90° равно 1, поэтому:

\[S_{\text{красного}} = \frac{6^2}{2}( \frac{\pi}{2} - 1)\]

Выполнив вычисления, получим:

\[S_{\text{красного}} = \frac{36}{2}( \frac{\pi}{2} - 1)\]

\[S_{\text{красного}} = 18( \frac{\pi}{2} - 1)\]

Теперь найдем площадь незакрашенного сегмента, который является разностью площади круга и площади красного сегмента. Формула для нахождения площади круга:

\[S_{\text{круга}} = \pi r^2\]

Подставив значения, получим:

\[S_{\text{круга}} = 3 \cdot 6^2\]

\[S_{\text{круга}} = 3 \cdot 36\]

\[S_{\text{круга}} = 108\]

Теперь найдем площадь незакрашенного сегмента:

\[S_{\text{незакрашенного}} = S_{\text{круга}} - S_{\text{красного}}\]

\[S_{\text{незакрашенного}} = 108 - 18( \frac{\pi}{2} - 1)\]

\[S_{\text{незакрашенного}} = 108 - 18 \cdot (\frac{\pi}{2} - 1)\]

\[S_{\text{незакрашенного}} = 108 - 18 \cdot \frac{\pi}{2} + 18\]

\[S_{\text{незакрашенного}} = 126 - 9\pi\]

Аналогично, площадь незакрашенного сегмента равна \(126 - 9\pi\) дм².

Таким образом, мы получили, что площадь красного сегмента равна \(18(\frac{\pi}{2} - 1)\) дм², а площадь незакрашенного сегмента равна \(126 - 9\pi\) дм².