Найдите радиус окружности, которая соприкасается с катетами прямоугольного треугольника и окружностью, вписанной в этот

Блестящая_Королева_9328

55

Для решения данной задачи, давайте воспользуемся свойствами треугольника, вписанного в окружность.

Известно, что вписанная окружность касается сторон треугольника в точках касания, которые называются точками касания. Обозначим эти точки как A и B.

Также, известно, что проведенные из центра окружности линии-радиусы, соединяющие центр окружности с точками касания, являются перпендикулярами к касательным линиям. Следовательно, линия-радиус, проведенная от центра окружности к точке касания (назовем ее R), является высотой прямоугольного треугольника.

Таким образом, у нас есть радиус вписанной окружности (Rв) и радиус окружности, касающейся катетов (R). Нам нужно найти значения R.

Чтобы решить эту задачу, воспользуемся формулой, связывающей радиус окружности, касающейся катетов, с радиусами вписанной окружности и смежными катетами:

\[R = \frac{{r_1 \cdot r_2}}{{r_1 + r_2}}\]

Где \(r_1\) и \(r_2\) - радиусы основного и вписанного треугольников соответственно.

Подставим известные значения в формулу:

\[R = \frac{{Rв \cdot Rв}}{{Rв + 2021}}\]

Теперь мы можем решить эту квадратную уравнение относительно R.

Умножим обе части уравнения на \(R + 2021\):

\[R(R + 2021) = Rв \cdot Rв\]

Раскроем скобки:

\[R^2 + 2021R = Rв^2\]

Теперь перенесем все элементы в левую часть уравнения:

\[R^2 + 2021R - Rв^2 = 0\]

Затем, используем квадратное уравнение на \(R\):

\[R = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}\]

Где у нас есть:

\[a = 1\]
\[b = 2021\]
\[c = -Rв^2\]

Подставим значения в формулу и решим уравнение:

\[R = \frac{{-2021 \pm \sqrt{{2021^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-Rв^2)}}}}{{2 \cdot 1}}\]

После решения этого уравнения полученные значения R будут радиусами окружностей, которые соприкасаются с катетами прямоугольного треугольника и вписанной окружностью.