Найдите радиус вписанного шара O треугольной призмы ABCA1B1C1, где ACB = 90°, AC = 3, CB

Larisa

22

Для начала, рассмотрим свойство вписанного шара в треугольник. Вписанный шар в треугольник касается всех трех сторон треугольника. Таким образом, если мы найдем расстояние от вершины треугольной призмы до его центра, то это будет равно радиусу вписанного шара.

Для решения этой задачи, нам потребуется найти высоту треугольника ABC. Мы знаем, что ACB = 90°, AC = 3 и CB = ?.

Используя теорему Пифагора в треугольнике ACB, мы можем найти длину гипотенузы AB:

\[AB = \sqrt{AC^2 + CB^2}\]

Теперь, зная длину гипотенузы AB, мы можем найти высоту треугольника ABC с помощью формулы:

\[h = \frac{2 \cdot площадь(ABC)}{AB}\]

Площадь треугольника ABC можно найти, используя полупериметр треугольника и формулу Герона:

\[S = \sqrt{p \cdot (p - AC) \cdot (p - CB) \cdot (p - AB)}\]

где p - полупериметр треугольника ABC, вычисляемый по формуле:

\[p = \frac{AC + CB + AB}{2}\]

После нахождения высоты треугольника ABC, мы получим радиус вписанного шара, который будет равен найденной высоте.

Давайте решим эту задачу подробно:

1. Найдем длину гипотенузы AB с помощью теоремы Пифагора:
\[AB = \sqrt{AC^2 + CB^2} = \sqrt{3^2 + CB^2}\]

2. Найдем полупериметр треугольника ABC:
\[p = \frac{AC + CB + AB}{2}\]
Подставим значения:
\[p = \frac{3 + CB + \sqrt{3^2 + CB^2}}{2}\]

3. Найдем площадь треугольника ABC с помощью формулы Герона:
\[S = \sqrt{p \cdot (p - AC) \cdot (p - CB) \cdot (p - AB)}\]
Подставим значения:
\[S = \sqrt{p \cdot (p - 3) \cdot (p - CB) \cdot (p - \sqrt{3^2 + CB^2})}\]

4. Найдем высоту треугольника ABC:
\[h = \frac{2 \cdot S}{AB} = \frac{2 \cdot \sqrt{p \cdot (p - 3) \cdot (p - CB) \cdot (p - \sqrt{3^2 + CB^2})}}{\sqrt{3^2 + CB^2}}\]

Теперь, когда мы нашли высоту треугольника ABC, мы можем сказать, что радиус вписанного шара O треугольной призмы ABCA1B1C1 равен найденной высоте треугольника ABC.