Найдите расстояние от точки А до плоскости, используя данные о точках А(8;20;-11) и В(4,2;1;12

Медвежонок_8661

28

Чтобы найти расстояние от точки А до плоскости, мы можем использовать формулу для расстояния между точкой и плоскостью.

Перед тем, как перейти к решению, мы должны представить уравнение плоскости. Уравнение плоскости можно представить в виде \(Ax + By + Cz + D = 0\), где A, B и C - коэффициенты, а x, y и z - координаты точки на плоскости.

Для того, чтобы найти уравнение плоскости, мы должны использовать точку В(4,2;1;12), через которую проходит плоскость, и нормальный вектор плоскости.

Нормальный вектор плоскости можно найти, используя координаты точек на плоскости. Для этого мы вычислим векторное произведение двух векторов, которые оба лежат на плоскости.

Вот пошаговое решение:

Шаг 1: Найдем вектор \( \overrightarrow{AB} \) между точками A(8;20;-11) и B(4,2;1;12).
\( \overrightarrow{AB} = \langle x2-x1, y2-y1, z2-z1 \rangle \)
\( \overrightarrow{AB} = \langle 4-8, 2-20, 1-(-11) \rangle \)
\( \overrightarrow{AB} = \langle -4, -18, 12 \rangle \)

Шаг 2: Теперь найдем нормальный вектор плоскости, используя векторное произведение \( \overrightarrow{AB} \) и вектора, параллельного плоскости.
Предположим, что плоскость параллельна вектору \( \overrightarrow{n} = \langle a, b, c \rangle \).
Тогда нормальный вектор плоскости можно выразить через \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{n} \) следующим образом:
\( \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \langle a, b, c \rangle \)

Нам нужно найти такой вектор \( \overrightarrow{n} \), который будет перпендикулярен вектору \( \overrightarrow{AB} = \langle -4, -18, 12 \rangle \).

Подберем произвольные a, b, и c, и посчитаем векторное произведение:
\( \overrightarrow{n} = \langle -4, -18, 12 \rangle \times \langle a, b, c \rangle \)

Вычислим векторное произведение, используя правило Саррюса:
\( \overrightarrow{n} = \langle (-18 \times c) - (12 \times b), (12 \times a) - (-4 \times c), (-4 \times b) - (-18 \times a) \rangle \)
\( \overrightarrow{n} = \langle -18c - 12b, 12a + 4c, -4b + 18a \rangle \)

Получили вектор \( \overrightarrow{n} = \langle -18c - 12b, 12a + 4c, -4b + 18a \rangle \), который перпендикулярен вектору \( \overrightarrow{AB} = \langle -4, -18, 12 \rangle \).

Шаг 3: Теперь мы можем записать уравнение плоскости, используя найденный нормальный вектор и точку B(4,2;1;12).
Уравнение плоскости будет иметь вид:
\( (-18c - 12b)(x-4) + (12a + 4c)(y-2) + (-4b + 18a)(z-1) = 0 \)

Шаг 4: Подставим точку A(8;20;-11) в уравнение плоскости и найдем расстояние.
Заменим x, y и z в уравнении на соответствующие значения из точки А(8;20;-11):
\( (-18c - 12b)(8-4) + (12a + 4c)(20-2) + (-4b + 18a)(-11-1) = 0 \)
\( (-18c - 12b)(4) + (12a + 4c)(18) + (-4b + 18a)(-12) = 0 \)

Теперь мы можем найти расстояние от точки А до плоскости, используя найденные значения для a, b, c и подставляя их в уравнение выше.

После подстановки значений получим одно уравнение, и его значение равно ответу на задачу - расстоянию от точки А до плоскости.